Suite spectrale

En algèbre homologique, plus particulièrement en topologie algébrique et en cohomologie de groupe, une suite spectrale est une suite de modules différentiels (E_n,d_n) tels que

E_n+1 = H(E_n) = Ker d_n / Im d_n

est l'homologie de E_n.

Il y a plusieurs manières en pratique pour obtenir une telle suite. Historiquement, depuis 1950, les arguments des suites spectrales ont été un outil performant pour la recherche, notamment dans la théorie de l'homotopie.

Explication générale

Pour chaque nouvelle feuille, on effectue un calcul sur la précédente.

Une manière de visualiser ce qui se produit dans une suite spectrale est l'utilisation de la métaphore du bloc-note^{[réf. nécessaire]}. E₁ étant la première feuille de données, la feuille E₂ en dérive par un processus défini; et ainsi de suite pour les feuilles E₃, E₄... Le résultat final du calcul serait la dernière feuille du bloc-notes.

En pratique E_i contient certaines données de gradation, souvent même deux. Chaque feuille est ensuite transformée en tableau, agencé en lignes et colonne, avec un groupe abélien dans chaque cellule. Chaque feuille possède aussi des "différentielles", qui agissent depuis chaque cellule de la feuille sur une autre cellule. Le processus défini est alors un moyen de calculer l'état de chaque cellule sur la feuille suivante à partir de la feuille courante, en suivant les différentielles.

Pour être rigoureux, l'élément E_n devrait indiquer deux indices :

E_n^p,q

avec les différentielles d_n^p,q agissant depuis E_n^p,q sur un E_n^p+a,q+b, avec a et b ne dépendant que de n.

Filtrations

Des suites spectrales apparaissent souvent lors des calculs de filtration d'un module E₀. Une filtration

$A_{-2} = A_{-1} = A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset \ldots$

d'un module induit une suite exacte courte

$0 \to A \hookrightarrow A \to B \to 0,$

avec B, le quotient j de A par son image sous l'inclusion i, et dont la différentielle est induite par celle de A. Soit A₁ = H(A) et B₁ = H(B) ; une suite exacte longue,

$\ldots \to A_1 \to A_1 \to B_1 \to A_1 \to \ldots$

est donnée par le lemme du serpent. Si nous appelons les cartes affichées i₁, j₁, et k₁, et si A₂ = i₁A₁ et B₂ = Ker j₁k₁ / Im j₁k₁, on peut démontrer que

$\ldots \to A_2 \to A_2 \to B_2 \to A_2 \to \ldots$

est une autre suite exacte.

Exemples

Quelques suites spectrales notoires :

• suite spectrale de Leray-Serre
• suite spectrale de Hochschild-Serre
• suite spectrale d'Adams
• suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch
• suite spectrale d'Adams-Novikov
• suite spectrale de Grothendieck
• suite spectrale chromatique
• suite spectrale d'Eilenberg-Moore
• suite spectrale de Bockstein

Références

• A User's Guide to Spectral Sequences par John McCleary
• Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory, par Robert Mosher and Martin Tangora
• Séminaire Henri Cartan de l'Ecole Normale Supérieure, 1950/1951. Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux