Automorphisme Orthogonal

Automorphisme orthogonal

En mathématiques, en algèbre linéaire, une isométrie vectorielle d'un espace préhilbertien est un automorphisme qui conserve le produit scalaire. Sur le corps des réels, on dit aussi automorphisme orthogonal ; sur le corps des complexes on dit aussi automorphisme unitaire.

Soit E un espace préhilbertien. Alors un automorphisme f est une isométrie vectorielle si et seulement si, pour tous $x,y\in E$, f vérifie

$\langle f(x) | f(y) \rangle = \langle x | y \rangle$.

De façon équivalente, un automorphisme f est une isométrie vectorielle si et seulement si f est un automorphisme et admet f ^{− 1} pour endomorphisme adjoint. Autrement dit un endomorphisme f est une isométrie vectorielle si et seulement si $f\,f^*=\mathrm{id}_E$ .

Propriétés

Soit f un endomorphisme de E.

La conservation du produit scalaire entraîne celle de la norme, c-à-d pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=\|x\|$. Réciproquement, les identités de polarisation assurent que si f conserve la norme, alors elle conserve le produit scalaire.

En dimension finie, l'injectivité de f implique sa bijectivité ; ainsi, tout endomorphisme E qui conserve la norme est une isométrie vectorielle.

En dimension finie, f est une isométrie vectorielle si et seulement si les vecteurs colonnes de sa matrice dans une base orthonormale donnée sont des vecteurs unitaires et orthogonaux entre eux deux à deux. Par suite dans le cas réel, f est un automorphisme orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale donnée est une matrice orthogonale. Dans le cas complexe, f est un automorphisme unitaire si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale donnée est une matrice unitaire.

Représentation dans une base orthonormale

En dimension deux ou trois

Soit E un espace euclidien de dimension deux. Il existe deux types d'automorphismes orthogonaux

• les rotations qui admettent une matrice représentative de la forme suivante en base orthonormale

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & - \sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

Si l'espace est orienté, θ est l'angle de la rotation.

• les réflexions ou symétries axiales. Dans une base orthonormale adaptée, elles sont représentées par la matrice

$\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}$

Dans un espace euclidien de dimension 3, on trouve les types suivants

• les rotations ayant pour matrice représentative dans une base orthonormale adaptée

$\begin{pmatrix} 1 &0&0 \\0& \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ 0& \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

• les réflexions (symétries orthogonales par rapport à un plan)

$\begin{pmatrix}-1&0&0 \\0&1&0\\0& 0&1 \end{pmatrix}$

• les composées d'une rotation et d'une réflexion par rapport au plan normal à l'axe

$\begin{pmatrix} -1 &0&0 \\0& \cos{\theta} & - \sin{\theta} \\ 0& \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

Cas général

Plus généralement, soit f un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien E. Il existe une base orthonormale dans laquelle, la matrice de f est diagonale par bloc avec trois sortes de blocs :

• des blocs de taille 1 contenant 1 ou -1 (correspondant aux espaces propres réels).
• des blocs de taille 2 de la forme

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$.

Dans cette décomposition, le nombre de -1 est pair si et seulement si f est un automorphisme orthogonal direct (de déterminant 1).

La preuve de ce résultat de décomposition peut se faire dans le cadre plus général des endomorphismes normaux.

Caractérisations d'un automorphisme orthogonal d'un espace euclidien

Soient $\ E$ espace euclidien, $\ f \in L(E)$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

i) $\ f$ est un automorphisme orthogonal de $\ E$
ii) $\ ff^{*}=\mathrm{id}_{E}$
iii) $\ f^{*}f=\mathrm{id}_{E}$
iv) $\ f$ est inversible et $\ f^{-1}=f^{*}$

Caractérisations d'un automorphisme unitaire d'un espace hermitien

Soient $\ E$ espace hermitien, $\ f \in L(E)$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

i) $\ f$ est un automorphisme unitaire de $\ E$
ii) $\ ff^{*}=\mathrm{id}_{E}$
iii) $\ f^{*}f=\mathrm{id}_{E}$
iv) $\ f$ est inversible et $\ f^{-1}=f^{*}$

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