Support de fonction

Le support d'une application est la partie du domaine de définition sur laquelle se concentre l'information utile. Pour une fonction numérique, ce sera la partie du domaine où elle n'est pas nulle et pour un homéomorphisme ou une permutation, la partie du domaine où elle n'est pas invariante.

Support d'une fonction numérique

Définition

Soit f une fonction continue numérique, c'est-à-dire à valeurs réelles ou complexes, définie sur un espace topologique X.

Définition : En analyse fonctionnelle, on appelle support de f, noté $\operatorname{supp}(f)$, l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels la fonction ne s'annule pas.

$\operatorname{supp}(f) := \overline{\{x\in X \mid f(x)\ne 0\}}$

C'est donc une partie fermée de X.

Cette définition prend particulièrement sens sur les espaces topologiques séparés.

Fonction à support compact

Les fonctions à support compact ont des propriétés souvent utiles.

• Les fonctions $C^{\infty}$ à support compact sont utilisées pour construire des suites régularisantes. Celles-ci permettent via un produit de convolution d'approcher une fonction donnée par une suite de fonctions régulières.

• Soit Ω un ouvert de $\mathbb {R}^{n}$. Les fonctions $C^{\infty}$ à support compact sont denses dans l' espace L^p(Ω) pour $1 \leqslant p < \infty$. On peut donc penser à démontrer des propriétés des espaces L^p en utilisant un argument de densité : on démontre d'abord la propriété sur les fonctions $C^{\infty}$ à support compact et ensuite on passe à la limite.

• L'espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur un ouvert Ω un ouvert de $\mathbb {R}^{n}$, est noté $C^{\infty}_{c}(\Omega)$. Mais certains auteurs utilisent d'autres notations comme $\mathcal{D}(\Omega)$ ou $C^{\infty}_{0}(\Omega)$. En fait, les distributions sont définies comme étant les éléments du dual topologique de $C^{\infty}_{c}(\Omega)$, muni d'une topologie adéquate.

• Sur un espace métrique (X,d), les fonctions continues numériques à support compact sont uniformément continues. C'est le théorème de Heine.

Support d'une fonction mesurable

Les exemples les plus courants d'ensemble de fonctions mesurables sont les espaces Lp, et c'est dans ce cadre que nous allons ici définir le support d'une fonction mesurable. En fait les fonctions mesurables sont les classes d'équivalences des fonctions égales à f presque partout, c'est-à-dire sauf sur un ensemble de mesure nulle.

Définition

Soit Ω un ouvert de ${\mathbb {R}}^N$ et $f \in L^p (\Omega)$ avec $1 \leqslant p \leqslant \infty$.

Proposition : On considère la famille de tous les ouverts $\left( \omega_{i} \right)_{i \in I}$de Ω tels que pour chaque $i \in I$, f = 0 p.p. sur ω_i. On pose $\omega=\bigcup_{i \in I} {\omega}_{i}$. alors $f=0 ~ p.p.$ sur ω

Démonstration

Lorsque la famille I est dénombrable, on peut conclure que f=0 p.p. sur ω grâce à la σ-additivité de la mesure. Dans le cas non dénombrable, on se ramène au cas précédent de la façon suivante. Soit (K_n)une suite de compacts tels que $\omega=\bigcup_{n} {K_{n}}$. Par exemple, on peut prendre $K_{n}=\left\{ x \in \omega ; dist( x , \mathbb {R}^{N} \setminus \omega ) \geqslant \frac{1}{n} et \left| x \right| \leqslant n \right\}$. Ensuite, pour chaque n, K_n est recouvert par un nombre fini de des ω_i, soit $K_{n} \subset \bigcup_{i \in I_{n}} \omega_{i}$ avec $i_{n} \in I$ fini. On pose $J=\bigcup_{n} I_{n}$. J est dénombrable et on a $\omega = \bigcup_{i \in J} \omega_{i}$. Comme f=0 p.p. sur ω_i, on en conclut que f=0 p.p. sur ω

Définition : $\operatorname{supp}(f) := {\Omega \setminus \omega}$

Remarque : La définition ci-dessus est cohérente. En effet si f₁ et f₂ sont deux fonctions représentant la classe f, c'est-à-dire si $f_{1}=f_{2} ~ p.p.$ sur Ω, grâce à la proposition ci-dessus on constate que $\operatorname{supp}(f_{1}) = \operatorname{supp}(f_{2})$ et donc le support d'une fonction mesurable f ainsi défini est indépendant du représentant choisi.

Exemples

• Dans le cas d'une fonction continue, on vérifie aisément que les deux définitions du support coïncident
• Ce n'est plus nécessairement le cas si f n'est pas continue.

En effet considérons la fonction caractéristique de $\mathbb {Q}$ définie par : $1_\mathbb{Q}(x)= \begin{cases} 1, & \text{si } x \in \mathbb {Q} \\ 0, & \text{si } x \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}$ Ainsi définie, selon la première définition le support de $1_{\mathbb {Q}}$ est $\mathbb {R}$. Mais si, maintenant on considère $1_{\mathbb {Q}}$ comme le représentant d'une fonction de $L^{\infty}(\mathbb {R})$, comme la mesure de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$ est nulle, $1_{\mathbb {Q}}=0 ~ p.p.$, on peut l'identifier à la fonction identiquement nulle et son support est vide.

Support d'un produit de convolution

Proposition : Soient $f \in L^1(\mathbb {R}^n)$ et $g \in L^p(\mathbb {R}^n)$ avec $1 \leqslant p \leqslant \infty$. Alors

$\operatorname{supp}(f * g) \subset \operatorname{supp}(f ) + \operatorname{supp}(g)$

Remarque : Le produit de convolution de deux fonctions à support compact est à support compact.

Remarque : En général, si l'un des supports seulement est compact, alors f * g n'est pas à support compact.

Support d'une mesure

Article détaillé : Support de mesure.

Définition

Soit μ une mesure positive définie sur la tribu borélienne d'un espace topologique.

Définition : On appelle support de la mesure μ l'ensemble des x tels que, pour tout ouvert U possédant x comme élément, μ(U) > 0.

Il s'agit d'une partie fermée de l'espace. En effet, si x est adhérent au support de μ, tout ouvert U contenant x contient également un élément y du support, et par conséquent, μ(U) > 0. Donc x lui-même appartient au support.

Si la mesure est régulière, ou si l'espace est à base dénombrable, le support de μ est le complémentaire du plus grand ouvert O tel que μ(O) = 0.

Exemples

• Dans le cas où la mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (voir le Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue pour plus de précisions), que ce soit une mesure de probabilité ou non, son support est égal au support de sa densité, pris à ce moment-là dans le sens du support d'une fonction.

• Dans le cas d'une mesure de Dirac en un point a, le support est réduit au singleton {a}.

Support d'une distribution

Définition

Soit Ω un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ une distribution.

Proposition : Si T est nulle sur des ouverts ${\Omega}_{i}, i \in I$, elle est nulle sur leur réunion.

Définition : On appelle support d'une distribution T sur Ω, le complémentaire du plus grand ouvert où T est nulle. On le note $\operatorname{supp}(T)$

Remarque : La définition ci-dessus est cohérente. En effet grâce à la proposition on est assuré que ce plus grand ouvert existe bien.

Exemples

• Si T est une fonction continue, alors le support ici défini est identique aux supports introduits précédemment pour les fonctions continues.
• Si T est une mesure ou une mesure de probabilité, le support ici défini est identique à celui précédemment défini pour les mesures.
• Si $\alpha \in \mathbb {N}^p$ est un multi-indice, la distribution D^αδ_a obtenue par differentiation de la mesure de dirac au point a, a un support réduit au point a.

Support singulier d'une distribution

Intuitivement, le support singulier d'une distribution peut être compris comme l'ensemble des points où la distribution ne peut pas être une identifiée à une fonction. Il s'agit là d'une notion différente de celle introduite jusqu'à présent.

Définition : On appelle support singulier d'une distribution T, et on note :$\operatorname{supp ~ sing}(T)$ le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel T est une fonction $C^{\infty}$.

Exemple : $\operatorname{supp ~ sing}( vp \frac{1}{x}) = \mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ où la distribution $vp ~ \frac{1}{x}$ est définie par $vp ~ \frac{1}{x} ( \phi )= \lim_{\begin{matrix} \epsilon \to 0 \\ \epsilon > 0 \end{matrix}} \int_{\left| x \right| > \epsilon} \frac{\phi(x)}{x} dx$ pour toute fonction $\phi \in \mathcal{D}'(\Omega)$. Ici vp désigne la valeur principale de Cauchy.

Pour les distributions de plusieurs variables, le support singulier permet de définir des fronts d'ondes et de comprendre le principe de Huygens en termes d'analyse mathématique.

La notion de support singulier permet d'expliquer l'impossibilité de multiplier des distributions, en gros, pour que la multiplication de deux distributions soit possible, il faut que leur support singulier soient disjoints.

Support d'un champ de vecteurs

En géométrie différentielle, pour un champ de vecteurs X (sur un ouvert de Rⁿ ou sur une variété) est l'adhérence des points x en lesquels X(x) est nul. Le champ X engendre un flot à un paramètre de difféomorphismes g'_t défini au moins localement. Le flot est globalement défini si le champ X est à support compact. Pour t non nul suffisamment petit, le support de g_t est exactement le support de X.

Support d'un homéomorphisme

En topologie, un homéomorphisme f de X sur X est une bijection continue et d'inverse continu. Son support est l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels f(x) diffère de x. En particulier, en géométrie différentielle et en systèmes dynamiques, on peut s'intéresser aux difféomorphismes à support compact. Le mot difféomorphisme prend sens ici, et est un cas particulier d'homéomorphisme.

Support d'une permutation

En analyse combinatoire, le support d'une permutation est le complémentaire de l'ensemble de ses points fixes. Par exemple, toute permutation sur un ensemble fini se décompose de manière unique comme produit de cycles à supports disjoints.

Remarque : En munissant l'ensemble sur lequel opère la permutation de la topologie discrète, on peu considérer la permutation comme un homéomorphisme et alors les deux définitions du support coïncident.

Références

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions].
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions].
• Laurent Schwartz, Théorie des Distributions, Hermann, 1978.
• (en) Yosida Kōsaku, Functional Analysis, Academic Press, 1968.