Symbole de Legendre

Le symbole de Legendre est une notation utilisée par les mathématiciens, en théorie des nombres, particulièrement dans les domaines de la factorisation et des résidus quadratiques. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Adrien-Marie Legendre.

Définition

Le symbole de Legendre est un cas particulier du symbole de Jacobi. Sa définition est la suivante :

Si p est un nombre premier et a un entier, alors le symbole de Legendre $\left(\frac ap\right)$ vaut :

• 0 si a est divisible par p
• 1 si a est un résidu quadratique modulo p (ce qui signifie qu'il existe un entier k tel que a ≡ k² (mod p)) mais n'est pas divisible par p
• −1 si a n'est pas un résidu quadratique modulo p.

Propriétés du symbole de Legendre

Voici quelques propriétés du symbole de Legendre, utiles pour simplifier certains calculs :

Critère d'Euler

Article détaillé : Critère d'Euler.

Il est possible de formuler le critère d'Euler en utilisant le symbole de Legendre :

si p est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier a,

$a^{(p-1)/2}\equiv\left(\frac ap\right)~\pmod p$.

En effet, si a est divisible par p alors il en est de même de a^{(p − 1) / 2} donc les deux entiers de l'équation sont congrus à 0 modulo p, et si a n'est pas divisible par p, d'après le critère d'Euler (démontré dans l'article détaillé) a^{(p − 1) / 2} est congru à 1 modulo p si a est un résidu quadratique et à -1 sinon, ce qui correspond exactement à la définition du symbole de Legendre.

Lemme de Gauss

Article détaillé : Lemme de Gauss.

Soient p un nombre premier et a un entier non divisible par p. Alors

$\left(\frac ap\right) = (-1)^n,$

où n est défini de la façon suivante :

considérons les entiers $a,2a,3a,\ldots,\frac{p-1}2a$ et leurs plus petits résidus positifs modulo p, alors n est le nombre de ces résidus qui excèdent p / 2,

ou encore, de façon équivalente :

n est le nombre d'entiers négatifs parmi $r(a),r(2a),\ldots,r\left(\frac{p-1}2a\right)$, en désignant par r(k), pour tout entier k, l'unique entier de l'intervalle $\left]-\frac{p+1}2,\frac{p-1}2\right]$ congru à k modulo p.

Corollaires

• $\left(\frac{ab}p\right)=\left(\frac ap\right)\left(\frac bp\right)$ (le symbole de Legendre est donc une fonction complètement multiplicative par rapport à son argument supérieur).

En effet, $\left(\frac{ab}p\right)=(ab)^{\frac{p-1}2}=a^{\frac{p-1}2}b^{\frac{p-1}2}=\left(\frac ap\right)\left(\frac bp\right)$.

• Si $a\equiv b\pmod p$, alors $\left(\frac ap\right) = \left(\frac bp\right)$.

• $\left(\frac1p\right)=1$, car 1 est le carré de lui-même.

• $\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\left(\frac{p-1}2\right)}= \begin{cases}~~1\text{ si }p\equiv 1\pmod4\\-1\text{ si }p \equiv 3\pmod4.\end{cases}$

• $\left(\frac2p\right) =(-1)^\tfrac{p^2-1}{8}= \begin{cases}~~1\text{ si }p\equiv 1\text{ ou }7 \pmod8\\-1\text{ si }p \equiv 3\text{ ou }5 \pmod8.\end{cases}$

• $\left(\frac a2\right)$ = 1 si a est impair et 0 sinon.

• Si q est un nombre premier impair alors $\left(\frac qp\right) = \left(\frac pq\right)(-1)^{\left(\frac{p-1}2\right)\left(\frac{q-1}2\right)}.$

La dernière propriété est connue sous le nom de loi de réciprocité quadratique.

Généralisation du symbole de Legendre

Article détaillé : Symbole de Jacobi.

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre $\left(\frac{a}{b}\right)$, l'entier b est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où b est un nombre composé ($\left(\frac{2}{6}\right)$ par exemple).

Analyse harmonique sur Z/pZ^*

Article détaillé : Analyse harmonique sur un groupe abélien fini.

La multiplicativité du symbole de Legendre (premier corollaire ci-dessus) montre qu'il définit, pour p fixé, un morphisme du groupe multiplicatif Z/pZ* dans {-1, 1}, c'est donc un caractère de Dirichlet. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un groupe fini. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstration en arithmétique. On peut citer par exemple le calcul des sommes ou des périodes de Gauss ce qui permet une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.