Système sexagésimal

Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60. Au contraire de certaines bases utilisées dans d'autres systèmes (binaire, octal, décimal, hexadécimal), la base 60 n'est actuellement utilisée nulle part de manière systématique. Il subsiste cependant certains vestiges de la numération sexagésimale dans la mesure du temps, des angles et des arcs (y compris les coordonnées géographiques).

Histoire

Le système sexagésimal semble avoir été utilisé pour la première fois par les Sumériens au III^e millénaire av. J.‑C. puis au II^e millénaire av. J.‑C. les Babyloniens, qui ont inventé la numération babylonienne, comme en témoigne la tablette Plimpton 322.

La mesure du temps en Chine suit le cycle sexagésimal chinois depuis 2697 av. J.-C. Le calendrier hindou fait de même depuis -3102 de notre ère.

Il a beaucoup été utilisé par les astronomes et géographes grecs, tels Ptolémée ou Théon d'Alexandrie, qui nous laissent une méthode pour calculer la racine carrée de nombres écrits dans le système sexagésimal. Par la suite il a été utilisé également dans le monde arabo-musulman pendant la dynastie des Omeyyades, en particulier dans les versions du zij du mathématicien ouzbek Al-Khwarizmi aujourd'hui connues sous le nom de « Table indienne », et par des mathématiciens européens comme Fibonacci.

Compter avec ses mains

Certains peuples, comme par exemple les vietnamiens, comptent leurs phalanges avec le pouce ; le pouce défile sur les trois phalanges des quatre autres doigts, soit douze phalanges. - Si par ailleurs on utilise les doigts de l'autre main pour les retenues, on a cinq retenues, soit 5×12 = 60 nombres. On peut supposer que la numération en base 60 vient de là. - Si on utilise les phalanges de l'autre main pour les retenues, soit 12 phalanges, on a 12×12 = 144 nombres, ce qui permet donc de compter jusqu'à 144+12=156 sur ses doigts.

Fractions

La base 60 a beaucoup plus de diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60) que la base 10 (2 et 5) et soixante est le plus petit nombre divisible par 2, 3, 4, 5 et 6. Ceci a pu être un énorme avantage tant que l'algorithme actuel de la division n'était pas connu. Cependant, avec la généralisation de la numération décimale positionnelle, cette caractéristique a perdu beaucoup de son intérêt. Il arrive par exemple que les durées, dans l'industrie ou le tertiaire, soient exprimées en dixièmes d'heure (sociétés de conseil) ou en centièmes d'heures (chronométrage industriel). Malgré des tentatives d'introduction du système décimal, l'utilisation de sous-multiples sexagésimaux de l'heure perdure en raison de la grande antiquité de ceux-ci et de leur universalité. De même, on divise parfois le degré d'angle ou d'arc en centièmes plutôt qu'en minutes et secondes (voir conversions ci-dessous).

Les Babyloniens utilisaient des tables d'inverses. Par exemple :

1/2 = 0 + 30/60

1/3 = 0 + 20/60

1/4 = 0 + 15/60

1/5 = 0 + 12/60

1/6 = 0 + 10/60

1/8 = 0 + 7/60 + 30/60²

1/9 = 0 + 6/60 + 40/60²

1/10 = 0 + 6/60

1/12 = 0 + 5/60

1/15 = 0 + 4/60

1/20 = 0 + 3/60

1/30 = 0 + 2/60

1/40 = 0 + 1/60 + 30/60²

1/60 = 0 + 1/60

Convertir les minutes et secondes en fractions décimales de degré

Les coordonnées géographiques sont souvent données en degrés (1/90 d'angle droit), minutes (1/60 de degré) et secondes (1/60 de minute), ce qui ne gêne ni les ordinateurs qui travaillent en binaire, ni les informaticiens qui sont attentifs aux désirs de leurs clients. Cependant, ces derniers jugent parfois le système sexagésimal peu pratique et, sans aller jusqu'à utiliser les grades (le grade étant 1/100 d'angle droit), souhaitent voir les minutes et secondes converties en fractions décimales de degré (on emploie couramment dans ce cas le terme de degrés décimaux, au risque de confusion avec les grades).

Exemple. Soit une latitude de 45° 53' 36" (45 degrés, 53 minutes et 36 secondes). Exprimée en degrés et fraction décimale de degré, la latitude sera : latitude = 45 + (53 / 60) + (36 / 3600) = 45,893333...

Formulation générale : latitude (degrés décimaux) = degrés + (minutes / 60) + (secondes / 3600)

Convertir les fractions décimales de degré en minutes et secondes

Exemple : soit une longitude de 121,135°

1. Le nombre avant la virgule indique les degrés ⇒ 121°
2. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,135 * 60 = 8,1
3. Le nombre avant la virgule devient la minute (8')
4. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,1 * 60 = 6
5. Le résultat correspond aux secondes (6").
6. Notre longitude sera de 121° 8' 6"

Liens externes

• étude sur les mathématiques des sumériens (en anglais)
• plus d'explications (en anglais)
• Brève chronologie de l'histoire des mathématiques en Mésopotamie
• Latitude, Longitude : Conversion de Format (DMS ↔ DD)

Voir également

• Numération babylonienne
• Arithmétique sexagésimale