Série de Grandi


Série de Grandi

La série 1 − 1 + 1 − 1 + …

ou


\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n

est parfois appelée la série de Grandi, du nom du mathématicien, philosophe et prêtre Luigi Guido Grandi, qui en donna une analyse célèbre en 1703. Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire que la suite de ses sommes partielles n'a pas de limite. Mais sa somme de Cesàro, i.e. la limite des moyennes de Cesàro de cette même suite, existe et vaut 12.

Sommaire

Heuristiques

Une méthode évidente pour traiter la série

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

est de la traiter comme une série télescopique et d'effectuer les soustractions localement :

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Cependant un autre parenthèsage, analogue, conduit à un résultat apparemment contradictoire :

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Ainsi, en appliquant les parenthèses à la série de Grandi de différentes manières, on peut obtenir les « valeurs » 0 ou 1 (des variantes de cette idée, appelées tour de passe-passe d'Eilenberg-Mazur (en), sont parfois utilisées en théorie des nœuds ou en algèbre).

En traitant la série de Grandi comme une série géométrique divergente (en), on peut utiliser les mêmes méthodes algébriques qui évaluent les séries convergentes géométriques pour obtenir une troisième valeur :

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, donc
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = S,

ayant pour résultat S = 12. On arrive à la même conclusion en calculant -S, soustrayant le résultat de S, et en résolvant 2S=1.

Les manipulations ci-dessus ne considèrent pas ce que la somme de la série signifie réellement. Cependant, dans la mesure où il est important de pouvoir parenthéser les séries comme on veut, et surtout, de faire de l'arithmétique sur elles, on peut arriver à deux conclusions :

  • la série 1 − 1 + 1 − 1 + … n'a pas de somme
  • … mais sa somme devrait être égale à 12.

En fait, les deux affirmations peuvent être précisées et prouvées, mais seulement en utilisant des concepts mathématiques bien définis qui furent développés au XIXe siècle. A la fin du XVIIe siècle avec l'introduction du calcul infinitésimal, mais avant l'avènement de la réaction moderne, les tensions entre les réponses ont alimenté une dispute violente et sans fin entre mathématiciens.

Divergence

En mathématiques modernes, la somme d'une série infinie est définie comme étant la limite de la suite de ses sommes partielles, si elle existe. La suite des sommes partielles de la série de Grandi est 1, 0, 1, 0, …, ce qui n'approche clairement aucun nombre (même si cela aboutit à des valeurs d'adhérence de 0 et 1). Ainsi, selon la définition moderne de la convergence d'une série, la série de Grandi est divergente. D'ailleurs, selon cette définition, une série convergente doit nécessairement voir son terme général tendre vers 0, ce qui n'est pas le cas pour la série de Grandi, puisque celui-ci vaut alternativement -1 ou 1.

On peut montrer qu'il n'est pas valide de faire sur une série des opérations, inoffensives en apparence mais nombreuses, comme réordonner certains termes, sauf si la série est absolument convergente. Si elle ne l'est pas, ces opérations peuvent modifier le résultat de la sommation. On peut facilement prouver qu'un réordonnancement des termes d'une série de Grandi peut la rendre convergente vers n'importe quel nombre entier, et pas seulement 0 ou 1.

Article connexe

Série alternée des entiers

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Grandi's series » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Keith Devlin (en), Mathematics, the science of patterns, Scientific American Library, 1994 (ISBN 0-7167-6022-3), p. 77 
  • (en) Harry F. Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, 1989 (ISBN 0-486-65973-9), p. 152 
  • (en) Morris Kline (en), « Euler and Infinite Series », dans Mathematics Magazine, vol. 56, no 5, novembre 1983, p. 307-314 [lien DOI] 
  • (en) Konrad Knopp (en), Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990 (1re éd. 1922) (ISBN 0-486-66165-2), p. 457 


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Série de Grandi de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Serie de Grandi — La serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + · · · es a veces llamada serie de Grandi, en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi, quién en 1703 realizó trabajos destacados sobre esta serie. Es una serie divergente, lo que implica… …   Wikipedia Español

  • Serie divergente — Série divergente En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence… …   Wikipédia en Français

  • Série alternée des entiers — Traduction à relire 1 − 2 + 3 − 4 …   Wikipédia en Français

  • Série divergente — En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme… …   Wikipédia en Français

  • Grandi magazzini — Grandi magazzini, littéralement Les Grands Magasins, est un film italien réalisé par Castellano et Pipolo et sorti en 1986. C est un film à sketches qui voit la participation de bon nombre des plus grandes stars du cinéma italien et de télévision …   Wikipédia en Français

  • Série mondiale 2011 — Les Cardinals de Saint Louis, champions 2011 …   Wikipédia en Français

  • Serie divergente — En matemáticas, una serie divergente es una serie infinita que no converge. Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge.… …   Wikipedia Español

  • Grandi, Dino, conde de Mordano — (4 jun. 1895, Mordano, Italia–21 may. 1988, Bolonia). Político italiano. En 1921 intentó infructuosamente convertirse en líder de los fascistas italianos, perdiendo ante Benito Mussolini, pero luego ocupó una serie de altos cargos de gobierno… …   Enciclopedia Universal

  • History of Grandi's series — Geometry and infinite zerosGrandiGuido Grandi (1671 – 1742) reportedly provided a simplistic account of the series in 1703. He noticed that inserting parentheses into nowrap|1=1 − 1 + 1 − 1 + · · · produced varying results: either:(1 1) + (1 1) + …   Wikipedia

  • Serena Grandi — (eigentlich Serena Faggioli, * 23. März 1958 in Bologna) ist eine italienische Schauspielerin, die zu Beginn ihrer Karriere vor allem in Erotikfilmen besetzt wurde. Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Filmografie (Auswahl) 3 …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.