Tenseur de Cotton-York

Tenseur de Cotton-York

En géométrie riemannienne, le tenseur de Cotton-York ou tenseur de Cotton est un tenseur principalement utilisé dans les espaces tridimensionnels, car dans de tels espaces, il possède la propriété d'être nul si et seulement si l'espace est conformément plat.

Le tenseur de Cotton-York tire son nom des mathématiciens Émile Cotton et James W. York[1]. Certains résultats de Cotton ont été retrouvés indépendamment par York, ce qui justifie l'usage de l'une ou l'autre de ces appellations (Cotton et Cotton-York).

Sommaire

Formule

Le tenseur de Cotton-York s'écrit, en termes de composantes,

R_{abc} = D_c R_{ab} - D_b R_{ac} + \frac{1}{4} \left(g_{ac} D_b R - g_{ab} D_c R\right),

gab représente la métrique de l'espace considéré, R la courbure scalaire, Rab le tenseur de Ricci et D la dérivée covariante associée à la métrique.

Propriétés

Par construction, le tenseur de Cotton-York est antisymétrique par rapport à ses deux derniers indices et s'annule par sommation des permutations circulaires de ces indices :

Rabc = − Racb,
Rabc + Rbca + Rcab.

La contraction sur ses deux premiers indices est également nulle dans les espaces tridimensionnels :

Raac = 0

Nombre de composantes indépendantes

Le tenseur de Cotton-York possède a priori 27 composantes indépendantes ; l'antisymétrie sur les deux derniers indices réduit ce nombre à neuf, et la contraction sur les deux premiers induit trois contraintes supplémentaires, soit six composantes indépendantes. La contrainte sur les permutations circulaires introduit, toujours à trois dimensions, une contrainte supplémentaire, ce qui laisse au final cinq composantes indépendantes, soit seulement une de moins que le tenseur de Riemann qui, à trois dimensions, possède six composantes indépendantes.

Forme duale

Du fait de l'antisymétrie des deux dernières composantes du tenseur, on peut lui associer son tenseur dual au sens de la dualité de Hodge, défini par

C^{ab} = 2 \epsilon^{acd} D_b \left(R^b_c - \frac{1}{4} \delta^b_c R \right),

où ε est le tenseur de Levi-Civita complètement antisymétrique par rapport à ses trois indices.

Certains auteurs réservent le nom de tenseur de Cotton à la première définition de Rabc et celle de tenseur de Cotton-York à celle ci-dessus.

Notes

  1. (fr) Émile Cotton, Sur les variétés à trois dimensions, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse II, 1, 385-438 (1899) Voir en ligne ; (en) James W. York, Gravitational Degrees of Freedom and the Initial-Value Problem, Physical Review Letters, 26, 1656-1658 (1972) Voir en ligne.

Références


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tenseur de Cotton-York de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Tenseur de cotton-york — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de Cotton — York Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de weyl — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de Weyl — En géométrie riemannienne, le tenseur de Weyl, nommé en l honneur d Hermann Weyl, représente la partie du tenseur de Riemann ne possédant pas de trace. Sommaire 1 Formule principale 2 Interprétation physique 3 Propriétés …   Wikipédia en Français

  • Tenseur — En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, un tenseur désigne un objet très général, dont la valeur s exprime dans un espace vectoriel. On peut l utiliser entre autres pour représenter des… …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de killing-yano — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de levi-civita — Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur dualiseur — Tenseur de Levi Civita Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur metrique — Tenseur métrique Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

  • Tenseur de courbure — Tenseur de Riemann Articles scientifiques sur les tenseurs Généralités Tenseur Mathématiques Tenseur (mathématiques) Produit tensoriel ... de deux modules ... de deux applications linéaires Algèbre tensorielle Champ tensoriel Espace tensoriel …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”