Tenseur de Killing-Yano

En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing-Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentarô Yano^[1]. Un tenseur antisymétrique d'ordre p $f_{a_1 a_2 ... a_p}$ est dit de Killing-Yano lorsqu'il vérifie l'équation

$D_b f_{c a_2 ... a_p} + D_c f_{b a_2 ... a_p} = 0\,$.

Cette équation diffère de la généralisation usuelle du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé, appelés tenseurs de Killing par ce que la dérivée covariante D est symétrisée avec un seul indice du tenseur et non la totalité de ceux-ci, comme c'est le cas pour les tenseurs de Killing.

Tenseurs de Killing-Yano triviaux

Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.

Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita) $\epsilon_{a_1 a_2 ... a_n}$, où n est la dimension de la variété est un tenseur de Killing-Yano, sa dérivée covariante étant toujours nulle (voir Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur).

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano

Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.

Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :

• À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1 ξ_a, on peut construire un tenseur de Killing K_ab d'ordre de 2 selon

K_ab = ξ_aξ_b.

• À partir du tenseur complètement antisymétrique $\epsilon_{a_1 a_2 ... a_n}$, on peut construire le tenseur de Killing trivial

$K_{ab} = \epsilon_{b a_2 ... a_n} \epsilon^{a_2 ... a_n c} g_{ca} = - 6 g_{ab}$.

De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2 A_ab et B_ab, on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2 K_ab selon

$K_{ab} = g^{cd} \left(A_{ac} B_{db} + B_{ac} A_{db} \right)$.

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1, $A_{a_2 ... a_n}$, on peut construire le vecteur associé au sens de Hodge (voir Dualité de Hodge),

$A^a = \epsilon^{a a_2 ... a_n} A_{a_2 ... a_n}$.

Du fait que le tenseur $A_{a_2 ... a_n}$ est de Killing-Yano, le vecteur A n'est pas de Killing-Yano, mais obéit à l'équation

$D_a A_b = \frac{1}{n} g_{ab} D_c A^c$.

Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing K_ab à partir de deux tels vecteurs, défini par :

K_ab = A_aB_b + A_bB_a − 2A^cB_cg_ab.

Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.

Propriétés

Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970^[2],[3],[4].

• Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme

$A_{ab} = X (l_a k_b - k_a l_b) + i Y (m_a \bar m_b - \bar m_a m_b)$,

où k, l, m et $\bar m$ forment une tétrade et les fonctions X et Y obéisent à un certain nombre d'équations différentielles. De plus, le tenseur de Killing-Yano obéit à la relation suivante avec le tenseur de Ricci^[3],[4] :

$R_a^c A_{cb} + R_b^c A_{ca} = 0$.

• Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus^[3],[4].
• Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré A_ab, alors celui-ci s'écrit sous la forme

A_ab = k_ap_b − p_ak_b,

k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann^[2],[4]

• Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat^[2],[4].

Voir aussi

• Vecteur de Killing
• Tenseur de Killing

Référence

• (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum & E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge University Press, Cambridge, Angleterre, 1980, 428 pages (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.

Note

1. ↑ (en) Kentarô Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
2. ↑ ^{a, b et c} (en) C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
3. ↑ ^{a, b et c} (en) C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
4. ↑ ^{a, b, c, d et e} (en) H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).