Tenseur des deformations

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Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique d'ordre 2 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

L'état de déformation d'un solide est décrit par un champ de tenseur, c'est-à-dire que le tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de déformation.

Les composantes sont notées ε_ij, avec :

• les termes diagonaux ε_ii sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe x_i) ;
• les autres termes ε_ij (i ≠ j) sont les γ, les demies variations de l'angle droit (en supposant un petit volume de matière cubique avant déformation).

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le tenseur des déformations est relié au champ de contrainte par la loi de Hooke généralisée.

Champ de déplacement

Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.

Soit A un point du solide au repos ; après déformation, il devient le point A' . On appelle déplacement du point A le vecteur

$\vec{u}(A) = \overrightarrow{AA'}$

On peut relier le tenseur des déformations au champ de déplacement :

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )$ (Opérateur des déformations linéarisé).

Définition de l'opérateur des déformations

Allongement uni-dimensionnel

Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x₁, devenant le segment [A'B' ], la déformation étant également parallèle à x₁.

La déformation ε₁₁ vaut (exprimée en distances algébriques) :

$\varepsilon_{11} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}}$

Sachant que

$\overline{AA'} = u_1(A)$ et $\overline{BB'} = u_1(B)$

la déformation vaut donc

$\varepsilon_{11} = \frac{\overline{A'A} + \overline{AB} + \overline{BB'}}{\overline{AB}} - 1$

$\varepsilon_{11} = \frac{u_1(B)-u_1(A) + \overline{AB}}{\overline{AB}} - 1$

Si l'on se place en petites déformations, on peut faire le développement limité du premier ordre de u₁ :

$u_1(B) \simeq u_1(A) + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}$

et ainsi

$\varepsilon_{11} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}$

De manière plus générale :

$\varepsilon_{ii} = \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_i}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \right )$

Cisaillement pur

Considérons maintenant du cisaillement pur. Un carré ABCD, où [AB] est parallèle à x₁ et [AD] est parallèle à x₂, se transforme en un losange AB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.

La tangente de l'angle γ vaut :

$\tan(\gamma) = \frac{\overline{BB'}}{\overline{AB}}$.

Pour les petites déformations, on a

$\tan(\gamma) \simeq \gamma$

ainsi que

$\overline{BB'} = u_2(B) \simeq u_2(A) + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \cdot \overline{AB}$

avec u₂(A) = 0. Ainsi,

$\gamma \simeq \frac{\partial u_2}{\partial x_1}$

Si l'on considère maintenant le segment [AD] :

$\gamma \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_2}$

et ainsi

$\gamma = \varepsilon_{12} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right )$

L'intérêt de faire la moyenne apparaît si l'on fait tourner le losange, il faut alors définir deux angles $\gamma_B = \widehat{B'AB}$ et $\gamma_D = \widehat{D'AD}$.

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Note : dans l'article Déformation élastique, l'angle γ défini vaut le double de l'angle défini ici.

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Définition générale

L'opérateur des déformations est un opérateur visant à caractériser en un point la déformation du milieu, c’est-à-dire la variation de longueur d'un segment suite à la transformation subie par le milieu.

On considère le segment AB qui se transforme en A' B'. Cet opérateur permet de quantifer |A' B'|²-|AB|².

On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) : $\underline{\Phi}(A',t)$ telle que

$\underline{OA'}=\underline{\Phi}(A,t)$

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide suite à la transformation $\underline{\Phi}$.

On cherche à avoir une mesure de |A' B'|²-|AB|².

Or on a

$\underline{OA'} = \underline{\Phi}(A,t)$

On peut donc écrire :

$\underline{OB'} = \underline{OA'} + \underline{\underline{F}} \cdot \underline{AB} + o(\|\underline{AB}\|)$

où

$\underline{\underline{F}} = \underline{\underline{grad}} (\underline{\Phi}) = \frac{\partial\underline{\Phi}}{\partial A}$

est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

$\|A'B'\|^2-\|AB\|^2 = \underline{AB} \left ( \underline{\underline{F}}^T \cdot \underline{\underline{F}} - \underline{\underline{Id}} \right ) \underline{AB}$

On pose :

$\underline{\underline{E}}=\frac{1}{2}\left(\underline{\underline{F}}^T \cdot\underline{\underline{F}}-\underline{\underline{Id}}\right)$

$\underline{\underline{E}}$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange

Si on introduit le vecteur déplacement

$\underline{u}(A,t)=\underline{AA'}$ on obtient :

$\underline{\underline{E}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \cdot\frac{\partial\underline{u}}{\partial A} + \frac{\partial\underline{u}}{\partial A} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \right)$

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

$\underline{\underline{\varepsilon}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial A} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial A}^T \right)$

Variation de volume relative

La variation de volume relative ΔV/V₀ est la trace du tenseur :

$\frac{\Delta V}{V_0} = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}$

En effet, si l'on considère un cube d'arrête a, après déformation on a un quasi-cube (les variations d'angle ne changent pas le volume) de dimension $a \cdot (1 + \varepsilon_{11}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{22}) \times a \cdot (1 + \varepsilon_{33})$ et V₀ = a³, soit

$\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{33}+ \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} + \varepsilon_{11} \cdot \varepsilon_{22} \cdot \varepsilon_{33} \right ) \cdot a^3 - a^3}{a^3}$

comme on est en très faible déformation,

1 >> ε_ii >> ε_ii·ε_jj >> ε₁₁·ε₂₂·ε₃₃

d'où le résultat.

Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas) : le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé

On en déduit que dans le cas du cisaillement pur, il n'y a pas de variation de volume.

De manière plus rigoureuse, la variation de volume relative ΔV/V₀ est égale à |F|-1.

En effet, soit le prisme de Ω₀ élémentaire engendré par (u₁₀,u₂₀,u₃₀). Sa transformée par Φ est le prisme engendré par (u₁,u₂,u₃).

Soit dV le volume de la transformée, et dV₀ celui du prisme initial.

On a

$dV = (u_1 \wedge u_2 \cdot u_3) = (\underline{\underline{F}}(u_{10}) \wedge \underline{\underline{F}}(u_{20}) \cdot \underline{\underline{F}}(u_{30})) = |\underline{\underline{F}}| (u_{10} \wedge u_{20}\cdot u_{30}) = |\underline{\underline{F}}| dV_0$

d'où ΔV/V= |F|-1

Voir aussi

Liens externes

• Déformations très petites d'un corps solide., É. Mathieu (1835-1890), Traité de physique mathématique (sur Gallica)
• tenseurs contrainte/déformation - loi de comportement élastique isotrope, orthotrope manuel de référence du logiciel de calcul de structure ICAB Force

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