Test (statistique)

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En statistiques, un test d'hypothèse est une démarche consistant à rejeter ou à ne pas rejeter (rarement accepter) une hypothèse statistique, appelée hypothèse nulle, en fonction d'un jeu de données (échantillon). Il s’agit de statistique inférentielle : à partir de calculs réalisés sur des données observées, nous émettons des conclusions sur la population, en leur rattachant des risques de se tromper.

Catégories des tests

Les tests peuvent être classés selon leur finalité, le type et le nombre des variables d’intérêt, l’existence d’hypothèses a priori sur les distributions des données, le mode de constitution des échantillons.

Les tests selon leur finalité

La finalité définit l’objectif du test, les hypothèses que l’on veut opposer, l’information que l’on souhaite extraire des données.

Le test de conformité consiste à confronter un paramètre calculé sur l’échantillon à une valeur pré-établie. On parle alors de test de conformité à un standard. Les plus connus sont certainement les tests portant sur la moyenne ou sur les proportions. Par exemple, dans un jeu de dés à 6 faces, on sait que la face 3 a une probabilité de 1/6 d’apparaître. On demande à un joueur de lancer (sans précautions particulières) 100 fois le dé, on teste alors si la fréquence d’apparition de la face 3 est compatible avec la probabilité 1/6. Si ce n’est pas le cas, on peut se poser des questions sur l’intégrité du dé.

Le test d’adéquation consiste à vérifier la compatibilité des données avec une distribution choisie a priori. Le test le plus utilisé dans cette optique est le test d’adéquation à la loi normale.

Le test d’homogénéité (ou de comparaison) consiste à vérifier que K (K >= 2) échantillons (groupes) proviennent de la même population ou, cela revient à la même chose, que la distribution de la variable d’intérêt est la même dans les K échantillons.

Le test d’association (ou d’indépendance) consiste à éprouver l’existence d’une liaison entre 2 variables. Les techniques utilisées diffèrent selon que les variables sont qualitatives nominales, ordinales ou quantitatives.

Les tests selon le type et le nombre de variables

On distingue généralement 3 principaux types de variables. Une variable qualitative nominale prend un nombre restreint de valeurs (modalités), il n’y a pas d’ordre entre ces valeurs, l’exemple le plus connu est le sexe, il y a 2 valeurs possibles Homme et Femme. Une variable qualitative ordinale prend un nombre restreint de valeurs, il y a un ordre entre les valeurs. Un exemple naturel est la préférence ou la satisfaction : peu satisfait, satisfait, très satisfait. Il y a un ordre naturel entre les valeurs, mais nous ne pouvons pas quantifier les écarts. Enfin, une variable quantitative prend théoriquement un nombre infini de valeurs, l’écart entre 2 valeurs a un sens. Un exemple simple serait le poids, la différence de poids entre 2 personnes est quantifiable, on sait l’interpréter.

Le type de données joue un rôle très important. Il circonscrit le cadre d’application des techniques. Pour un même objectif, selon le type de données, nous serons amenés à mettre en œuvre des tests différents. Par exemple, pour mesurer l’association entre 2 variables : si elles sont quantitatives, nous utiliserons plutôt le coefficient de corrélation de Pearson ; si elles sont qualitatives nominales, le coefficient de corrélation n’a pas de sens, on utilisera plutôt des mesures telles que le V de Cramer ou le t de Tschuprow.

Principalement concernant les tests de conformité et d’homogénéité, on dit que le test est univarié s’il ne porte que sur une variable d’intérêt (ex. comparer la consommation de véhicules selon le type de carburant utilisé), il est multivarié s’il met en jeu simultanément plusieurs variables (ex. la comparaison porte sur la consommation, la quantité de CO₂ émise, la quantité de particules émises, etc.).

Tests paramétriques et tests non paramétriques

On parle de tests paramétriques lorsque l’on stipule que les données sont issues d’une distribution paramétrée. Dans ce cas, les caractéristiques des données peuvent être résumées à l’aide de paramètres estimés sur l’échantillon, la procédure de test subséquente ne porte alors que sur ces paramètres. L’hypothèse de normalité sous jacente des données est le plus souvent utilisée, la moyenne et la variance suffisent pour caractériser complètement la distribution. Concernant les tests d’homogénéité par exemple, pour éprouver l’égalité des distributions, il suffira de comparer les moyennes et/ou les variances.

Les tests non paramétriques ne font aucune hypothèse sur la distribution sous-jacente des données. On les qualifie souvent de tests distribution free. L’étape préalable consistant à estimer les paramètres des distributions avant de procéder au test d’hypothèse proprement dit n’est plus nécessaire.

Lorsque les données sont quantitatives, les tests non paramétriques transforment les valeurs en rangs. L’appellation tests de rangs est souvent rencontrée. Lorsque les données sont qualitatives, seuls les tests non paramétriques sont utilisables.

La distinction paramétrique – non paramétrique est essentielle. Elle est systématiquement mise en avant dans la littérature. Les tests non paramétriques, en ne faisant aucune hypothèse sur les distributions des données, élargissent le champ d’application des procédures statistiques. En contrepartie, ils sont moins puissants lorsque ces hypothèses sont compatibles avec les données.

Constitution des échantillons

Ce point est surtout associé aux tests de comparaison. On parle d’échantillons indépendants lorsque les observations sont indépendantes à l’intérieur des groupes et d’un groupe à l’autre. C’est le cas lorsque l’échantillon provient d’un échantillonnage simple dans la population globale.

Les échantillons appariés en revanche reposent sur un schéma différent. D’un groupe à l’autre, les individus sont liés. C’est le cas lorsque nous procédons à des mesures répétées sur les mêmes sujets. Par exemple, on mesure la fièvre d’un patient avant et après la prise d’un médicament. L’appariement est une procédure complexe qui va au delà des mesures répétées (ex. les blocs aléatoires complets), elle vise à améliorer la puissance des tests en réduisant l’influence des fluctuations d’échantillonnage.

Liste des tests usuels

À partir des considérations ci-dessus, nous pouvons proposer une classification des principaux tests utilisés en statistique inférentielle. Nous laissons de côté des tests relatifs à des techniques statistiques spécifiques. Ils dépassent largement le cadre de ce sujet, il paraît plus intéressant de les approfondir dans leur cadre naturel (ex. test de nullité de coefficients de la Régression linéaire multiple ; évaluation d’un bloc de coefficients dans la Régression logistique, etc.).

Type de test	Tests paramétriques	Tests non paramétriques
Problème à 1 échantillon
Tests de conformité à un standard	Test de conformité d'une moyenne (test de Student), d'un écart type et d'une proportion	.
Tests d'adéquation à une loi	.	Test de Kolmogorov-Smirnov Test d'adéquation du χ2 Test de Shapiro-Wilks, test de Lilliefors, test d'Anderson-Darling, test de D'Agostino, Test de Jarque Bera
Tests de symétrie des répartitions	.	Test de Wilcoxon Test de Van der Waerden
Comparaison de (K ≥ 2) populations
Tests omnibus de comparaison de populations, les fonctions de répartition sont les mêmes dans les groupes	.	Test de Kolmogorov - Smirnov Test de Kuiper Test de Cramer - von Mises
Tests de comparaison de K échantillons indépendants (différenciation selon les caractéristiques de tendance centrale, modèle de localisation)	Test de comparaison de moyennes (K = 2) ANOVA (analyse de variance) à 1 facteur	Test de la somme des rangs de Wilcoxon (K=2) Test de Mann - Whitney (K=2) Test de Kruskal - Wallis Test des médianes Test de Van der Waerden Test de Jonckheere - Terpstra (alternatives ordonnées)
Tests de comparaison de K échantillons indépendants (différenciation selon les caractéristiques de dispersion, modèle d'échelle)	Test de Fisher (K=2) Test de Bartlett Test de Cochran Test F-max de Hartley Test de Levene Test de Brown-Forsythe	Test de Ansari - Bradley Test de Klotz Test de Mood Test de Siegel-Tukey Test des différences extrêmes de Moses
Tests pour K échantillons appariés (mesures répétées ou blocs aléatoires complets)	Test de Student de comparaison de moyennes pour échantillons appariés (K=2) Test de comparaison de variances pour échantillons appariés (K=2) ANOVA pour blocs aléatoires complets	Test des signes (K=2) Test des rangs signés de Wilcoxon (K=2) Test de Friedman Test de Page (alternatives ordonnées) Test de McNemar (K=2, variables binaires) Test Q de Cochran (variables binaires)
Tests multivariés pour K échantillons indépendants	T² de Hotelling, comparaison de K=2 barycentres (vecteur des moyennes) MANOVA (analyse de variance mutlivariée), comparaison de K barycentres : Lambda de Wilks, Trace de Pillai, Trace de Hotelling-Lawley, La plus grande valeur propre de Roy Test M de Box de comparaison de matrices de variance covariance	.
Association entre variables
Association entre p=2 variables quantitatives	Coefficient de corrélation de Pearson	Rho de Spearman Tau-a de Kendall
Association entre p = 2 variables ordinales	.	Gamma de Goodman - Kruskal Tau-b et Tau-c de Kendall d de Sommers Test de Mantel - Haenszel (variables binaires)
Association entre p=2 variables nominales	.	Test d'indépendance du χ² t de Tschuprow et v de Cramer Coefficient phi (variables binaires) Coefficient Q de Yule (variables binaires) Lambda de Goodman - Kruskal Tau de Goodman - Kruskal U de Theil
Association entre (p ≥ 2) variables	.	Coefficient de concordance de Kendall (variables quantitatives ou ordinales) Coefficient Kappa de Fleiss, concordance de p jugements (variables ordinales ; Kappa de Cohen pour p = 2)

Voir aussi

Liens internes

• Test d'hypothèse

Liens externes

• (en) J.D. Leeper, Choosing the Correct Statistical Test, CHS 627: Multivariate Methods in Health Statistics, The University of Alabama.
• (en) J.H. McDonald, Choosing a statistical test, in Handbook of Biological Statistics
• R. Ramousse, M. Le Berre, L. Le Guelte, Inroduction aux statistiques, chapitres 1 à 5 (des mêmes auteurs, voir aussi Une approche pragmatique de l'Analyse des données)
• R. Rakotomalala, Comparaison de populations - Tests paramétriques et Comparaison de populations - Tests non paramétriques
• Tests non paramétriques sous Microsoft Excel
• Statisticien.fr Tests de rangs
• INRIA Rhône-Alpes SMEL - Statistique médicale en ligne, en particulier Tests Statistiques
• D. Mouchiroud, Probabilité - Statistique, voir "Probabilités - Statistiques"
• J. Begin, Analyse quantitative en psychologie, voir "Notes de Cours"

Bibliographie

• P. Dagnelie, Statistique théorique et appliquée, t. 1 : Statistique descriptive et base de l'inférence statistique, Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier, 2007 .
• P. Dagnelie, Statistique théorique et appliquée, t. 2 : Inférence statistique à une et à deux dimensions, Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier, 2006 .
• J.-J. Droesbecke, Éléments de statistique, Ellipses, Paris, 2001.
• B. Escofier et J. Pages, Initiation aux traitements statistiques : Méthodes, méthodologie, Rennes, Presses universitaires de Rennes, 1997.
• Falissard et Monga, Statistique : concepts et méthodes, Masson, Paris, 1993.
• H. Rouanet, J.-M. Bernard et B. Le Roux, Statistique en sciences humaines : analyse inductive des données, Dunod, Paris, 1990.
• G. Saporta, Probabilité, analyse des données et statistique, Technip, Paris, 1990.
• R. Veysseyre, Statistique et probabilité pour l'ingénieur, Dunod, Paris, 2002.

Logiciels

• Liste des logiciels de statistique
• Le logiciel R pour les calculs statistiques. Logiciel libre.
• Tanagra. Un logiciel libre pour l'enseignement et la recherche.