Theoreme d'Abel (analyse)


Theoreme d'Abel (analyse)

Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Théorème — Soit \textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n une série entière de rayon de convergence égal à R. Si \textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n converge, alors :

\lim_{x\to R^-} f(x) =  \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n.

Remarque : dans le cas où la série \sum_{n \geqslant 0} a_n R^n est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n converge normalement donc uniformément sur [0, R] ; on retrouve immédiatement :

\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{x \to R^-}(a_n x^n) =  \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n


Exemple (1) :
Soit \textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x). Comme \textstyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on en déduit que :
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
Exemple (2) :
Soit \textstyle g(x)= \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x). Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que \textstyle\sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1} converge, d'où :
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}
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