Theoreme d'Abel (analyse)

Théorème d'Abel (analyse)

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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.

Théorème — Soit $\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 0} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence égal à R. Si $\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n$ converge, alors :

$\lim_{x\to R^-} f(x) = \sum_{n \geqslant 0} a_nR^n$.

Démonstration

Quitte à effectuer un changement de variables linéaire u = x / R, on peut considérer uniquement le cas R = 1.

La démonstration repose sur la méthode classique de la transformation d'Abel, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales. Notons S_n les sommes partielles de la série $\textstyle\sum_{n\geqslant 0} a_n$ (avec la convention S _{− 1} = 0) et l sa somme, alors :

$\sum_{n=0}^{N}(S_n-S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N}S_n(x^n-x^{n+1}) + S_Nx^{N+1}$

Pour tout x < 1, on a donc prouvé que $\textstyle f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}S_nx^n$. Prenons N₀ tel que | S_n − l | < ε pour tout $n\geqslant N_0$, alors pour 0 < x < 1:

$(1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l-\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n \leqslant f(x) \leqslant (1-x)\sum_{n=0}^{N_0}S_nx^n + (1-x)(l+\varepsilon)\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n$

Comme d'une part la suite S_n est bornée car convergente, et d'autre part $\textstyle\sum_{n=N_0+1}^{\infty}x^n = \frac{x^{N_0+1}}{1-x}$, on obtient :

$-M (1-x^{N_0+1}) + (l-\varepsilon)x^{N_0+1} \leqslant f(x) \leqslant M (1-x^{N_0+1}) + (l+\varepsilon)x^{N_0+1}$

Les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers l − ε et l + ε quand x tend vers 1.

Remarque : dans le cas où la série $\sum_{n \geqslant 0} a_n R^n$ est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.

En effet, sous cette condition, $\sum_{n \geqslant 0} a_n x^n$ converge normalement donc uniformément sur [0, R] ; on retrouve immédiatement :

$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{x \to R^-}(a_n x^n) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n$

Exemple (1) :

Soit $\textstyle f(x)= \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)$. Comme $\textstyle\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on en déduit que : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

Exemple (2) :

Soit $\textstyle g(x)= \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)$. Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que $\textstyle\sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ converge, d'où : $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

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