Theoreme de Bohr-Mollerup

Théorème de Bohr-Mollerup

En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et Johannes Mollerup, qui l'ont prouvé en 1922. Le théorème caractérise la fonction gamma, définie pour x > 0 par

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt$

comme la seule fonction f définie pour x > 0 qui vérifie simultanément les trois propriétés suivantes :

• f(1) = 1,
• $f(x+1)=xf(x)\ \mbox{pour}\ x>0,$
• log(f) est une fonction convexe.

Le fait que log f est convexe est souvent exprimé par le fait que f est log-convexe.

Il est amusant de remarquer que Bohr et Mollerup ont publié ce résultat dans un manuel d'analyse, car ils le croyaient déjà connu.

Une démonstration particulièrement élégante en a été donné par Emil Artin dans l'ouvrage cité en référence.

Réferences

• (da) H. Bohr, J. Mollerup, Lærebog i matematisk Analyse, vol.3, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1922
• (en) Eric W. Weisstein, Bohr-Mollerup Theorem, MathWorld.
• (en) Proof of Bohr-Mollerup theorem de PlanetMath
• (en) Proof of Bohr-Mollerup theorem de PlanetMath
• (en) Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart, Winston, 1964 

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