Theoreme de Bonnet-Schoenberg-Myers

Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers

Le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers est un théorème bien connu de la géométrie riemannienne. Il montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la formule de la seconde variation.

Théorème : Si une variété riemannienne complète a une courbure sectionnelle minorée par une constante strictement positive δ, alors son diamètre est borné par $\pi/\sqrt{\delta}$ :

$\forall x, k(x)\geq \delta>0\Rightarrow diam M\leq \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}$

En particulier, M est compacte.

Démonstrations

Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec $L=d(p,q)>\pi/\sqrt{\delta}$. Soit une géodésique $\gamma:[0,L]\rightarrow M$ d'origine γ(0) = p et d'extrémité γ(L) = q. Prenons v un vecteur dans T_pM, orthogonal à γ'(0). Introduisons le champ de vecteurs parallèle Z le long de γ d'origine Z(0) = v. Posons :

$Y(t)=\sin\left[\frac{\pi t}{L}\right].Z(t)$

Un calcul élémentaire donne :

$Y'(t)=\frac{\pi}{L}\cos\left[\frac{\pi t}{L}\right] Z(t)$

Soit {c_s} une variation de courbes $[0,L]\rightarrow M$ d'origine p et d'extrémité q avec c₀ = γ et $\partial s c_s|_{s=0}=Y$. La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs Y, donne alors :

$\frac{\partial^2 long c_s}{\partial s^2}=\int_0^L \left[ \frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\left[\frac{\pi t}{L}\right] - k(\gamma'(t),Y(t))\sin^2\left[\frac{\pi t}{L}\right]\right] dt\leq \frac{\pi^2 -\delta L^2}{2L}<0$

Ceci est absurde lorsque γ est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne.

Le cas d'égalité a été étudié :

Sous les notations précédentes, si le diamètre de M est égal à $\pi/\sqrt{k}$, alors (M,g) est isométrique à la sphère euclidienne de rayon $1/\sqrt{k}$.

Le théorème de Meyer a le corollaire bien connu suivant :

Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure positive est un groupe fini.

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