Theoreme de Gordan

Théorème de Gordan

Cet article court présente un sujet plus amplement développé ici : Théorèmes de l'alternative.

Le théorème de Gordan est un théorème qui donne une condition nécessaire et suffisante d'existence de solutions à un système linéaire d'inégalités strictes dans $\R$. C'est l'exemple le plus simple de « théorème de l'alternative ».

Théorème de Gordan (1873) — Soit $f_1,\ldots,f_k$ des formes linéaires sur un espace vectoriel réel de dimension finie E. Alors :

$\{y\in E\,\mid\,f_1(y)> 0,f_2(y)>0,\ldots,f_k(y)> 0\}=\emptyset$

si et seulement si

0 appartient à l'enveloppe convexe de $(f_1,\ldots,f_k)$.

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