Theoreme de Hilbert-Speiser

Théorème de Hilbert-Speiser

En mathématiques, le théorème de Hilbert-Speiser est un résultat sur les corps cyclotomiques, caractérisant ceux avec une base intégrale normale. Plus généralement, il s'applique à toute extension abélienne K du corps des nombres rationnels $\mathbb{Q}\,$. Le théorème de Kronecker-Weber caractérise un tel K comme (à un isomorphisme près) les sous-corps de

$\mathbb{Q}(\zeta_n)\,$

où

$\zeta_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}\,$.

En termes abstraits, le résultat établit que K possède une base normale intégrale si et seulement s'il est modérément ramifié sur $\mathbb{Q}\,$. En termes concrets, ceci est la condition qu'il serait un sous-corps de

$\mathbb{Q}(\zeta_n)\,$

où n est un nombre impair sans carré. Ce résultat est nommé ainsi en l'honneur de David Hilbert et Andreas Speiser 1885 - 1970.

Dans les cas où le théorème établit qu'une base normale intégrale existe, une telle base peut être construite au sens des périodes de Gauss. Par exemple, si nous prenons n un nombre premier p > 2,

$\mathbb{Q}(\zeta_p)\,$

possède une base normale intégrale consistuée des p - 1 p-èmes racines de l'unité autres que 1. Pour un corps K qui s'y trouve, la trace du corps peut être utilisée pour construire aussi une telle base dans K

Article détaillé : période de Gauss.

.

Alors, dans le cas de n impair et sans carré,

$\mathbb{Q}(\zeta_n)\,$

est un produit tensoriel de sous-corps de ce type pour les nombres premiers p divisant n (ceci découle d'un argument simple sur la ramification). Cette décomposition peut être utilisée pour traiter n'importe quels de ces sous-corps.

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