Theoreme de Maschke

Théorème de Maschke

Heinrich Maschke

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie de la représentation des groupes.

Ce théorème permet, si la caractéristique du corps est soit nulle soit première avec l'ordre du groupe, d'établir une décomposition de la représentation en facteurs irréductibles. Elle admet des généralisations pour l'étude des G-modules, des algèbres de groupes et des groupes de Lie.

Ce théorème doit son nom au mathématicien Heinrich Maschke (1853 1908).

Énoncés des théorèmes

Le cas le plus simple est celui de la représentation d'un groupe fini :

• Soit (V, ρ) une représentation d'un groupe G d'ordre fini sur un corps K de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G, alors V est somme directe de sous-espaces irréductibles.

En terme matriciel, cela signifie qu'il existe une unique décomposition optimale, en somme de sous-espaces vectoriels, de l'espace vectoriel V, telle que tous les automorphismes de la représentation s'écrivent sous forme diagonale par blocs suivant cette décomposition ; l'optimalité étant choisie dans le sens qu'aucune décomposition plus fine ne conserverait la propriété d'écriture diagonale par blocs des automorphismes considérés.

Cette définition est équivalente à la donnée d'un G-module :

• Soit V un G-module sur un groupe G d'ordre fini sur un corps K de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G, alors V est semi-simple.

Ce théorème possède une expression analogue en termes d'algèbre d'un groupe fini :

• Si K est un corps de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G un groupe fini, alors l'algèbre de groupe K[G] est semi-simple.

Ce théorème possède une généralisation. Si le groupe est topologique, il peut parfois être muni d'une mesure compatible avec la loi du groupe et appelée mesure de Haar. C'est le cas par exemple des groupes compacts. Les conséquences du théorème sont alors encore vérifiées.

Démonstrations

Un lemme est utile pour établir le résultat :

• Si W est un sous-espace vectoriel stable de la représentation, alors il existe un sous-espace supplémentaire de W stable pour la représentation.

En effet, notons W_q un supplémentaire quelconque de W et p le projecteur sur W parallèlement à W_q. Considérons alors l'application linéaire p_s définie par :

$p_s=\frac{1}{g}\sum_{t\in G}\rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1}$

Où g désigne l'ordre du groupe G.

Montrons que p_s est un projecteur. La restriction de p_s à W est égale à l'identité, car la restriction de p à W est égale à l'identité et que ρ_t laisse W stable. De plus, l'image de p_s est égale à W.

Montrons que, si W_s est le noyau de p_s, alors il est stable par la représentation. Remarquons tous d'abord que si u est un élément du groupe, l'application de G dans G, qui à t associe ut est une permutation. En conséquence :

$p_s=\frac{1}{g}\sum_{t\in G}\rho_u \circ \rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1} \circ \rho_u^{-1}= \rho_u \circ \left( \frac{1}{g}\sum_{t\in G} \rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1}\right) \circ \rho_u^{-1}= \rho_u \circ p_s \circ \rho_u^{-1}$

Soit k un élément du noyau, montrons alors que ρ_u(k) est aussi élément du noyau.

$p_s(\rho_u(k))=(\rho_u \circ p_s \circ \rho_u^{-1})(\rho_u(k))=(\rho_u \circ p_s)(\rho_u^{-1}\circ \rho_u)(k))=\rho_u (p_s(k))= \rho_u(0) = 0\;$

W_s est un supplémentaire de W car c'est le noyau d'un projecteur sur W et il est stable par la représentation, le lemme est donc démontré.

• Soit (V, ρ) une représentation d'un groupe G d'ordre fini sur un corps K de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G, alors V est somme directe de sous-espaces irréductibles.

• Si n est égal à un, alors il n'existe aucun sous-espace vectoriel stable non trivial, donc le théorème est manifestement vérifié.
• Supposons le théorème vrai pour toute dimension strictement inférieure à n. Si la représentation est irréductible, alors le théorème est vérifié. Dans le cas contraire il existe un sous-espace stable W de dimension strictement inférieur à n. Le lemme garantit l'existence d'un supplémentaire W_s stable, aussi de dimension strictement inférieur à n. Par hypothèse de récurrence, W et W_s sont sommes directes de sous-espaces stables par la représentation. Le fait que W et W_s soient des supplémentaires permet de conclure. Cette démonstration s'applique de la même manière aux G-modules.

• Si K est un corps de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G un groupe fini, alors l'algèbre de groupe K[G] est semi-simple.

L'objectif est maintenant de montrer que le noyau de p_s est un idéal bilatère. La théorie des anneaux permet de conclure, c'est un idéal nommé idéal annulateur. Démontrons le dans ce contexte. Soit a un élément de l'idéal annulateur et k un élément quelconque de K[G]. L'objectif est de montrer que p_s(ak) = p_s (ka) = 0. Il suffit de remarque de p_s commutent avec tous les éléments de K[G] car il commute sur une base.

$p_s(ak)=p_sak=(p_sa)k=0k=0 \quad et \quad p_s(ka)=(p_sk)a = (kp_s)a=k(p_sa)=0 \;$

Ce qui termine la démonstration

Histoire

Le théorème voit le jour dans le contexte du développement de la théorie des représentations d'un groupe fini. Le mois d'avril 1896 voit dans trois réponses^[1] épistolaires de Frobenius (1849 - 1917) à Richard Dedekind (1831 1916) la naissance de cette théorie. L'auteur comprend immédiatement qu'il est à l'origine d'une vaste théorie. Le 16 juillet, il publie un premier article^[2]. On peut y lire je développerais ici le concept (de caractère pour un groupe fini quelconque) avec la croyance que, à travers cette introduction, la théorie des groupes sera substantiellement enrichie.

L'école de mathématiques de l'Université de Chicago étudie aussi ce sujet, avec un accent particulier sur les corps finis, un de ses membres, Heinrich Maschke (1853 1908), élève de Felix Klein (1849 1925) travaille sur le cas des caractères du groupe symétrique. En 1898, il démontre un cas particulier de ce qui deviendra son théorème^[3]. Il trouve la preuve générale^[4] l'année suivante et elle est publiée dans les Annales mathématiques que dirige Klein. Un mathématicien allemand Alfred Loewy énonce, sans preuve, un résultat analogue au théorème en 1896.

En 1907 à Édimbourg Joseph Wedderburn (1882 - 1948) publie son article^[5] peut-être le plus célèbre, classifiant toutes les algèbres semi-simples, la formulation du théorème s'en trouve modifiée.

Applications

• Ce théorème simplifie la théorie des représentations d'un groupe fini ou des K-algèbre d'un groupe fini. En effet, il suffit de se limiter aux représentations irréductibles. Les autres se déduisent directement par somme directe.

• Il démontre qu'une représentation correspond à une structure d'algèbre semi-simple. Cette remarque permet d'étudier une représentation sous un autre angle, celui des algèbres de groupe.

• Ce théorème permet de démontrer simplement que tout groupe abélien d'ordre fini est un produit de cycles. Le Lemme de Schur prouve que les seules représentations irréductibles sont de degré un. Il suffit alors de considérer la représentation régulière qui possède pour base le groupe lui-même sur le corps des complexes et d'appliquer le théorème de Maschke pour conclure. Une démonstration complète est donnée dans l'article Diagonalisation.

Exemple le groupe symétrique d'indice trois

Article détaillé : Représentations du groupe symétrique d'indice trois.

Soit (V, ρ) la représentation régulière du groupe S₃ du groupe symétrique d'un ensemble de trois éléments. Le groupe S₃ contient six éléments et trois classes de conjugaison, la première ne contient que l'identité noté 1, la deuxième les transpositions t₁ = (23), t₂ = (13) et t₃ = (12) et la troisième les deux cycles d'ordre trois c₁ = (123) et c₂ = (132). Si V est l'espace vectoriel de la représentation régulière, alors (1, c₁, c₂, t₁, t₂, t₃) est la base canonique de la représentation, à l'ordre près.

On remarque l'existence de deux vecteurs propres pour toutes les images de ρ :

$f_1=1+c_1+c_2+t_1+t_2+t_3 \quad et \quad f_2=1+c_1+c_2 - t_1 - t_2 - t_3 \;$

Toute permutation laisse f₁ invariant, toute permutation paire laisse f₂ invariant et toute permutation impaire transforme f₂ en -f₂.

Tout sous-espace vectoriel stable possède un supplémentaire stable, le théorème de Maschke indique une méthode pour le trouver. Soit F l'espace vectoriel engendré par f₁ et f₂ et p le projecteur sur F parallèlement à l'espace engendré par c₁, c₂, t₁, t₂, alors le projecteur p₀ défini par l'égalité suivante possède un noyau stable par toutes les images de ρ.

$p_0=\frac{1}{6}\sum_{t\in G}\rho_t \circ p \circ \rho_t^{-1}$

Dans la base canonique, on obtient les matrices P et P_s des deux projecteurs :

$P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad P_0=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Notons G le noyau de p₀ si j désigne la racine cubique de l'unité, alors on obtient la base suivante de G

$g_1=1+j.c_1+j^2.c_2\quad g_2=1+j^2.c_1+j.c_2\quad g_3=t_1+j.t_2+j^2.t_3\quad g_4=t_1+j^2.t_2+j.t_3$

Considérons alors la représentation (G, φ) où φ est la restriction de ρ à G. Si G_x est la matrice de φ_x dans la base (g_i) pour x élément de S₃, on obtient :

$G_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad G_{c_1}=\begin{pmatrix} j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \end{pmatrix},\quad G_{c_2}=\begin{pmatrix} j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \end{pmatrix}$

$G_{t_1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j^2 \\ j^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad G_{t_3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & j \\ j & 0 & 0 & 0 \\ 0 & j^2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

On peut vérifier ensuite que les sous-espaces H₁=<g₁+g₄,g₂+g₃> et H₂=<g₁-g₄,g₂-g₃> sont des sous-espaces stables, supplémentaires dans G. La décomposition en sous-espaces irréductibles prédite par le théorème de Maschke est alors :

$V=<f_1>\oplus<f_2>\oplus H_1\oplus H_2$

Notes et références

Notes

1. ↑ T. Hawkins The origins of the theory of group characters Archive Hist. Exact Science 8 p143-287 1971
2. ↑ Ferdinand Georg Frobenius Uber Gruppencharaktere Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1896
3. ↑ Heinrich Maschke Über den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen 1898
4. ↑ Heinrich Maschke Beweiss des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind 1899
5. ↑ Joseph Wedderburn On hypercomplex numbers London Mathematical Society 1907

Liens externes

• (en) Références historiques Par le site de l'université de St Andew
• (fr) Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII
• (fr) Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne

Références

• Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]
• (en) Marshall Hall, The theory of groups [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
• N. Bourbaki Algèbre, Chapitre VIII Paris, Hermann 1958

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