Theoreme de Monge

Théorème de Monge

Le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de plusieurs variables au niveau d'un point critique (x₀,y₀) :

On pose :

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}(x_0,y_0)=R$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}(x_0,y_0)=S$
$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}(x_0,y_0)=T$

On calcule Δ = S² − RT.

On distingue alors trois cas :

• Si Δ < 0 on a alors un extrémum local :
  • si R > 0 c'est un minimum ;
  • si R < 0 c'est un maximum ;
• Si Δ > 0 on a alors un point selle – ou point col ;
• Si Δ = 0 il faut alors faire l'étude classique du point critique.

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