Theoreme de Newton-Hamilton

Théorème de Newton-Hamilton

Le théorème de Newton-Hamilton est un théorème de dynamique des champs à force centrale, de trajectoire une conique. La présentation sera ici faite avec une ellipse.

Énoncé

Soit une trajectoire (T) elliptique, décrite sous l'action d'une force centrale issue d'un point O (évidemment intérieur à l'ellipse). Soit (D) la polaire de O par rapport à l'ellipse ; et PH la distance du point matériel courant P à la polaire (D).

La force centrale est $F \sim \frac{r}{(PH)^3}$.

Applications

• La plus connue est celle de la Proposition 11 des Principia. Le théorème de Hamilton n'en est que la généralisation exprimée en géométrie des polaires. Choix de O : le soleil S situé au foyer de l'ellipse.

Sa polaire est la directrice (D), et donc PH³ = e³r³. On en tire la force $F \sim \frac{1}{r^2}$.

• Une autre application est la position dégénérée du centre de l'ellipse. Il faut alors être prudent , afin de montrer que PH³ doit être considéré comme constant : on retrouve l'ellipse de Hooke.

• Soit un cercle de diamètre "vertical" OA = 2R. La polaire de O est l'axe "horizontal" x'Ox. On retrouve la Proposition 7 des Principia : le point courant est attiré par $F \sim \frac{1}{r^5}$.

Démonstration

Dans une conique (courbe du second ordre), f(x,y) = ax² + 2cxy + by² + 2dx + 2ey + f = 0, la droite polaire (D) de l'origine O est dx + ey + f = 0.

Et PH²˜(dx + ey + f)², P se trouvant sur la conique.

• L'accélération de Siacci donne $F \sim \frac{C^2 r}{p^3 R}$
• La formule de Frenet $R \sim (V \wedge A)^3$ conduit à p³R˜(dx + ey + f)³

On en déduit : $F \sim \frac{C^2 r}{(dx+ey+f)^3} \sim \frac{C^2 r}{(PH)^3}$.

Voir aussi

• Transmutation de la force
• Accélération de Siacci
• Mouvement keplerien

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