Theoreme de Noether (mathematiques)

Théorème de Noether (mathématiques)

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Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.

Principe

Il consiste en: soit M une variété différentielle de dimension n et L un lagrangien indépendant du temps sur M, c'est-à-dire une fonction différentiable $L:TM\rightarrow R$. Une symétrie est un difféomorphisme $f:M\rightarrow M$ tel que l'on ait :

$L\circ\mathrm df=L$

Une symétrie infinitésimale du lagrangien L est un champ de vecteurs V sur U tel que le groupe à un paramètre engendré $s\mapsto \Phi_s$ soit un groupe de symétries de L. Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange de L.

Théorème — Si $L:TM\rightarrow R$ est un lagrangien indépendant du temps, et que V est une symétrie infinitésimale de L, alors la fonction G définie sur TM par :

$G(w)=\partial_{\mathcal{V}}L(w)(V\circ\pi(w))$

est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à L.

Comme usuellement, $\partial_{\mathcal{V}}L(w)$ désigne la différentielle verticale de L en w, vue comme une forme linéaire sur T_π(w)M.

Démonstration

Introduisons $s\mapsto \Phi_s$, le groupe à un paramètre de difféomorphismes de V. Dérivons par rapport à s en s = 0 l'équation :

$L\left[\mathrm d\Phi_s(w)\right]=L(w)$

On trouve la condition que doit satisfaire V pour être une symétrie infinitésimale du lagrangien L :

$\partial_{\mathcal{H}}L(w)(V\circ\pi(w))+ \partial_{\mathcal{V}}L(w)\left[\nabla_wV\right]=0$

où a été introduite une métrique riemannienne arbitraire sur M. Le symbole $\partial_\mathcal{H}$ désigne la différentielle horizontale. La dépendance de l'équation ci-dessus en la métrique est superficielle. Soit $t\mapsto q(t)$ une solution des équations d'Euler-Lagrange. Alors, il vient :

$\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\dot{q}(t))&= \left[\nabla_t \partial_{\mathcal{V}}L(\dot{q}(t))\right]\left(W(q(t))\right)+\partial_{\mathcal{V}}L(\dot{q}(t))\left[\nabla_tW\circ q\right] \\ & = \partial_{\mathcal{H}}L(\dot{q}(t))\left[W(q(t))\right]+\partial_{\mathcal{H}}L(\dot{q}(t))\left[\nabla_tW\circ q\right] \\ & =0 \end{align}$

D'où le résultat.

Applications

Mouvement à force centrale

Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse m dans un champ de forces dérivant d'un potentiel V = V(r) ne dépendant que du rayon r. C'est le problème variationnel associé au lagrangien L sur $\R^3$ :

$L(w)=\frac{m}{2}\|w\|^2-V(r)$

Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe D est engendré par un champ de vecteurs de la forme :

$V(q)=\Omega\wedge q$

où $\wedge$ désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :

$G_{\Omega}(q,w)=m\dot{q}\cdot \left[\Omega\wedge q\right]=-\Omega\cdot m\left(q\wedge \dot{q}\right)$

est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation Ω, on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :

$\mu=m(q\wedge \dot{q})$

Source

• Pierre Pansu ; Cours de Géométrie différentielle, niveau Master 2 ; [1]

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