Theoreme de Weierstrass-Casorati

Théorème de Weierstrass-Casorati

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

Énoncé

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit f une fonction holomorphe sur un disque D(a,r) épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en a (c'est-à-dire que f n'est pas bornée sur un voisinage de a sans pour autant que $\lim_{z\to a} |f(z)|$ existe).

Alors, pour tout k inclus dans ]0,r[, l'ensemble $f(D(a,k)\backslash\{a\})$ est dense dans $\Complex$.

Démonstration

Par l'absurde, si f a une singularité essentielle en a, supposons qu'il existe k > 0 tel que $f\left(D(a,k)\backslash\{a\}\right)$ n'est pas dense dans $\mathbb{C}$. Il existe alors $b\in\mathbb{C}$ et ε > 0 tel que $\left|f(z)-b\right|>\epsilon$ et la fonction $g:z\mapsto 1/(f(z)-b)$ est alors bornée sur $D(a,k)\backslash\{a\}$, une conséquence de la formule intégrale de Cauchy nous permet donc d'affirmer que a est une singularité apparente de g qui peut se prolonger en une fonction $\tilde{g}$ holomorphe en a. La fonction $1/\tilde{g}$ est alors soit holomorphe en a si $\tilde{g}(a)\neq 0$ soit elle possède un pôle si $\tilde{g}(a)=0$ mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de f en a. $f\left(D(a,k)\backslash\{a\}\right)$ est donc nécessairement dense dans $\mathbb{C}$.

Ainsi pour tout k inclus dans ]0,r[ et pour tout c appartenant à $\Complex$, il existe une suite (z_j) de $D(a,k)\backslash\{a\}$ telle que f(z_j) tend vers c.

Remarque: on dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en a lorsque le développement en Série de Laurent admet une infinité de termes de la forme a _{− n} / (s − a)ⁿ. Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point a est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de 1 / (s − a) (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de $\mathbb{C}$ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

Exemples

Tracé du module de la fonction $z \mapsto \exp\left(z^{-2}\right)$. La fonction possède une singularité essentielle en 0. On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0

• La fonction $g:z\mapsto 1/z$ définie sur $\mathbb{C}^*$ possède une singularité qui n'est pas essentielle en 0 (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que $\left|g(z)\right|\to\infty$ quand $z\to 0$ et la fonction g ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.

• La fonction définie pour tout $z \in \mathbb{C}^*$ par :

$f(z)=\exp\left(\frac{1}{z^2}\right)=1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^6}+\frac{1}{24z^8}+...$

possède une singularité essentielle en 0.

En posant z = x + iy on a $\left|f(z)\right|=\exp\left(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)$ les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ vérifient donc des équations du type $x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2$ où c est une constante, les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ sont donc des lemniscates de Bernoulli.

Une application

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permet de montrer que les seules automorphismes biholomorphes de $\mathbb{C}$ sont des applications f du type f(z) = az + b avec $a\neq 0$.

Voir aussi

• Théorèmes de Picard
• Lemniscate de Bernoulli
• Singularité (mathématiques)
• Formule intégrale de Cauchy

Référence

• Serge Lang, Complex Analysis, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », New York, janvier 1999, 485 p. (ISBN 0-387-98592-1) 

Lien externe

• [1] Cours de Ernst Hairer de l'université de Genève au format PDF.

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