Theoreme de Zermelo

Théorème de Zermelo

En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo qui affirme :

Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Ce théorème est équivalent à l'axiome du choix (et donc au lemme de Zorn).

Montrons par exemple qu'il implique l'axiome du choix. Soient E un ensemble bien ordonné, et $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble de ses parties. Alors, on définit une fonction de choix sur $\mathcal{P}(E)-\emptyset$ en associant à une partie X non vide de E, son plus petit élément (l'existence d'une telle fonction est un des énoncés possibles de l'axiome du choix).

On déduit assez simplement le théorème de Zermelo du lemme de Zorn. Soit E un ensemble, soit M l'ensemble des relations de bon ordre sur une partie de E. M lui même peut être muni d'un ordre partiel: on dit qu'un bon ordre o₁ est inférieur ou égal à un bon ordre o₂ si o₁ est un segment initial de o₂. On vérifie ensuite que M muni de cette relation est un ensemble inductif. L'ensemble vide est bien ordonné par la relation vide, donc M est non vide. Une chaîne non vide de M admet un majorant (qui est même une borne supérieure), qui est la relation dont le graphe est la réunion des graphes des ordres de la chaîne. On vérifie que cette relation est bien une relation de bon ordre (on exploite le fait que la chaîne est ordonnée par segment initial). Donc M admet un élément maximal. Un tel élément maximal est alors un bon ordre sur tout E (on pourrait sinon le prolonger en un bon ordre successeur, ce qui contredit la maximalité).

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