Theoreme de plongement de Nash

Théorème de plongement de Nash

Le théorème de plongement de Nash (d'après le nom du mathématicien John Forbes Nash) affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien de type $\mathbb{R}^n$.

"De manière isométrique" veut dire "conservant la longueur des courbes". Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

• Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C¹. Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
• Le second (1956), portant sur les variétés de classe C^k où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

Théorème de plongement C¹ (Nash-Kuiper)

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et $f:M^m\to E^n$ un plongement lisse et court $C^\infty$ dans un espace euclidien Eⁿ où $n\ge m+1$. Alors pour tout ε > 0 il existe un plongement $f_\epsilon:M^m\to E^n$ ayant les propriétés suivantes :

(i) f_ε est de classe C¹,

(ii) f_ε est isométrique, i.e. pour tout couple de vecteurs $v,w\in T_x(M)$ dans l'espace tangent en $x\in M$ on a $g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle$.

(iii) | f(x) − f_ε(x) | < ε pour tout $x\in M$.

En particulier, toute variété riemannienne de dimension m admet une isométrie de classe C¹ dans un espace euclidien de dimension 2 m.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C¹-plongée dans une boule de taille arbitrairement petite d'un espace euclidien à 3 dimensions (d'après la formule de Gauss, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C³ ; la question est ouverte pour les plongements C² )

Théorème de plongement C^k

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe C^k avec k > 3). Alors il existe un nombre n (n = m² + 5m + 3 suffit) et un plongement injectif $f : M^{m} \to \mathbb{R}^n$ (également analytique ou de classe C^k) tel qu'en tout point p de M,

$\forall u,v \in T_p M, g(u,v) = df_p(u).df_p(v)$ où . est le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$.

Bibliographie

• N.H.Kuiper: "On C¹-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545–556.
• John Nash: "C¹-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383–396.
• John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20–63.
• John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345–355.

Voir aussi

• Géométrie différentielle
• Variété (géométrie)

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