Theoreme de preparation de Weierstrass

Théorème de préparation de Weierstrass

En mathématiques, le théorème de préparation de Weierstrass est un outil utilisé dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables.

Il affirme qu'au voisinage d'un point P, une telle fonction est le produit d'une fonction non nulle en P, et d'un polynôme unitaire $f_0 + f_1 z + \cdots + f_{k-1} z^{k-1} + z^k$ en l'une des variables z, où les f_i sont des fonctions analytiques des autres variables et vérifient f_i(P) = 0.

Ce théorème possède de nombreux analogues ou variantes, encore désignés sous le nom de théorème de préparation de Weierstrass. Par exemple, on dispose du résultat suivant sur les séries formelles à coefficients dans l'anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers p-adiques, où p est un nombre premier.

Soit $F = \sum_{n \geq 0} a_n X^n$ une série formelle à coefficients dans $\mathbf{Z}_p$. On suppose que F n'est pas divisible par p, c'est-à-dire qu'au moins l'un des coefficients de F n'est pas divisible par p. On note k l'entier minimal tel que a_k n'est pas divisible par p. Alors il existe un polynôme G de $\mathbf{Z}_p[X]$ et une série formelle H de $\mathbf{Z}_p[[X]]$ tels que

(1) F = GH

(2) G est unitaire de degré k et H est inversible dans $\mathbf{Z}_p[[X]]$.

De plus, G et H sont déterminés de manière unique.

Remarque. Dans le cas particulier où F est un polynôme de degré N et $1 \leq k \leq N-1$, on peut montrer que H est un polynôme de degré N − k, ce qui fournit une factorisation non triviale de F. Ce résultat s'apparente au lemme de Hensel : on passe d'une factorisation dans $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}[X]$ à une factorisation dans $\mathbf{Z}_p[X]$.

L'analogie avec le théorème concernant les fonctions analytiques vient du fait que les éléments de $\mathbf{Z}_p$ peuvent être considérés comme des séries entières en la variable p, via le développement de Hensel.

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