Theoreme de relevement

Théorème de relèvement

Le théorème de relèvement est employé lors de l'étude de fonctions réelles à valeurs complexes. Il peut s'énoncer de la façon suivante :

Si f est une fonction continue sur un intervalle I de $\mathbb R$ à valeurs dans le cercle unité $\mathbb U$ du plan complexe, alors il existe une application θ continue sur I à valeurs dans $\mathbb R$ telle que :

$\forall {t} \in {I},\ {f(t) = \exp(i \theta(t))}$

On dit alors que θ est un relèvement de f. Si notre fonction f est une fonction à valeurs complexes mais qui ne s'annule pas sur son intervalle de définition, ce théorème nous permet de la mettre sous forme polaire :

$\forall {t} \in {I},\ {f(t) = |f(t)| \exp(i \theta(t))}$

Compléments

Deux relèvements de f diffèrent d'une constante de la forme 2kπ où k est un entier relatif.

Si la fonction f est de classe C^k avec k un entier naturel, alors il existe un relèvement θ de f de classe C^k.

Méthodes de démonstration

Pour k > 0 la démonstration consiste à dériver la relation puis à définir θ par une intégrale.

Pour k = 0 la démonstration est sensiblement différente et fait appel à différentes notions de topologie, par exemple la continuité uniforme ou le lemme de Cousin.

Voir aussi

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