Theoreme des deux lunules

Théorème des deux lunules

Le théorème des deux lunules est un ancien théorème de géométrie plane.

Histoire

Ce théorème est très ancien : Hippocrate de Chios (-500) étudia aussi la duplication du cube, c’est-à-dire 2^{1 / 3} (ne pas confondre avec Hippocrate(-460,-377)). On l'appelle aussi les lunules d'Hippocrate.

Définition

Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d’un côté et concave de l’autre.

Énoncé

Soit le triangle ABC rectangle en B et $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit à ABC (de diamètre AC).

La lunule L_BC est la figure formée par le demi-disque de diamètre BC extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par $\mathcal{C}$.

La lunule L_BA est la figure formée par le demi-disque de diamètre BA extérieur au triangle ABC, auquel on enlève son intersection avec le disque délimité par $\mathcal{C}$.

Alors la somme des aires de L_BC et de L_BA (en bleu sur la figure) est égale à l'aire du triangle ABC (en vert).

Démonstration

Soit un triangle ABC rectangle en B

Les deux petites parties blanches sont le demi-cercle de diamètre AC privé du triangle ABC. Leur aire est donc Aire(AC) − Aire(ABC)

Les deux lunules sont les deux demi-cercles de diamètre AB et BC privés des parties blanches. Leur aire est donc

$\text{Aire}(AB) + \text{Aire}(BC) - (\text{Aire}(AC)-\text{Aire}(ABC)). \,$

Pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que Aire(AB) + Aire(BC) − Aire(AC) = 0. C'est-à-dire que l'aire des deux demi-disques de diamètre AB et BC est égale à l'aire du demi-disque de diamètre AC.

Or le théorème de Pythagore nous dit que

$AC^2 = AB^2+BC^2.\,$

Donc en multipliant par $\frac{\pi}{4}$ on a que

$\pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2+\pi \left(\frac{BC}{2}\right)^2,\,$

ce qui est l'égalité des aires recherchées.

Voir aussi

• Arbelos

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me des deux lunules ».