Théorie des jeux

Théorie des jeux

La théorie des jeux est un ensemble d'outils pour analyser les situations dans lesquelles ce qu'il est optimal de faire pour un agent (personne physique, entreprise, animal, ...) dépend des anticipations qu'il forme sur ce que un ou plusieurs autres agents vont faire. L'objectif de la théorie des jeux est de modéliser ces situations, de déterminer une stratégie optimale chacun des agents, de prédire l'équilibre du jeu et de trouver comment aboutir à une situation optimale. La théorie des jeux est très souvent utilisée en économie, en sciences politiques, en biologie ou encore en philosophie.

La théorie des jeux moderne commence avec la publication en 1944 du livre d'Oskar Morgenstern et John von Neumann, Theory of Games and Economic Behavior. Elle a été principalement développée dans les années 1950, notamment avec les travaux de John Nash. Elle est maintenant considérée comme un outil essentiel dans de nombreuses disciplines : huit théoriciens des jeux ont obtenu le Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel[1] et John Maynard Smith a reçu le Prix Crafoord pour son application de la théorie des jeux à la biologie.

Sommaire

Histoire

L'analyse du duopole d'Antoine Augustin Cournot publiée en 1838 dans ses Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses peut être considérée comme la première formulation, dans un cadre particulier, de la notion d'équilibre de Nash.

Dans son ouvrage de 1938, Applications aux Jeux de Hasard, Émile Borel 1938 développe un théorème du minimax pour les jeux à somme nulle à deux joueurs, c'est-à-dire les jeux dans lesquels ce que gagne l'un est perdu par l'autre.

La théorie des jeux est devenue un champs de recherche à part entière avec la publication de la Théorie des jeux et du comportement économique (Theory of Games and Economic Behavior) par John von Neumann et Oskar Morgenstern en 1944. Cet ouvrage fondateur détaillait la méthode de résolution des jeux à somme nulle.

Vers 1950, John Nash a développé la notion d'équilibre de Nash qui généralise les travaux de Cournot 1838.

John Forbes Nash, Jr.

L’association entre jeu et nombres surréels de Conway a été établie dans les années 1970[réf. nécessaire].

En 1994, John Nash, Reinhard Selten et John Harsanyi ont reçu le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel pour leurs travaux sur la théorie des jeux.

En 2005, les théoriciens des jeux Thomas Schelling et Robert Aumann ont reçu le Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel.

Robert Aumann

En 2007 Leonid Hurwicz, Eric Maskin et Roger Myerson ont reçu le Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel avoir posé les fondations de la Théorie des mécanismes d'incitation.

Typologie

La théorie des jeux classifie les jeux en catégories en fonction de leurs approches de résolution. Les catégories les plus ordinaires sont :

Jeux coopératifs et jeux non coopératifs

Article détaillé : Jeu coopératif (théorie).

Dans les jeux coopératifs, on étudie la formation de coalitions entre les joueurs afin d’obtenir un meilleur résultat pour ses membres.

Théorie de la négociation

La théorie moderne de la négociation est articulée sur le fait qu’une négociation constitue un jeu à somme non-nulle. L’art de la négociation consiste donc moins à faire céder l’interlocuteur sur la ligne principale d’opposition (un prix, par exemple) qu’à trouver des arrangements extérieurs à cette ligne qui apporteront beaucoup à l’un sans coûter trop cher à l’autre (stratégies dites Gagnant-gagnant).

Depuis longtemps, tout cela était utilisé dans les négociations :

  • « Je ne peux accepter ce coût FOB, mais puis le considérer en CIF. »
  • « Si je vous en prends deux, m’accordez-vous 5% de remise ? »
  • « Je vous en offre tant, mais il faut vous décider tout de suite. »

voir entre particulier :

  • « Je veux bien te le laisser à ce prix-là, mais tu offres le café ! »[travail inédit ?]

« Coopétition »

La coopétition est le partage d'information au sein d'un réseau socio-professionnel de concurrence. On parle aussi de compétition transparente. La coopétition peut s'appliquer tant à des services de recherche et développement des organisations (qui se livrent par ailleurs une guerre féroce en matière commerciale), qu'au monde du développement des logiciels libres, qui fait appel au principes de fourches (un projet se scinde en deux en cas de passage de la coopération à la compétition), tout en laissant les deux codes logiciels produits en concurrence accessibles pour les deux groupes de développeurs. Par extension, la coopétition s'applique dans tout contexte de gestion de la complexité socio-professionnelle, car le principe de base est que l'information prend de la valeur lorsqu'elle est partagée, et que justement, c'est en étant émetteur d'information stratégiques qu'on prend une position dominante dans un groupe de compétiteurs, face à divers clients potentiels[travail inédit ?].

Jeux simultanés et jeux séquentiel

Dans un jeu simultané, les joueurs décident en même temps de leur stratégie. Au contraire, dans un jeu séquentiel, on peut spécifier l'ordre des décisions de sorte qu'un joueur peut décider de sa stratégie conditionnellement à ce qu'ont joué les autres joueurs précédemment.

Par exemple, le dilemme du prisonnier, le jeu Pierre-feuille-ciseaux et le jeu du duopole de Cournot sont des jeux simultanés. Le jeu du mille-pattes est un jeu séquentiel.

Jeux à somme nulle et jeux à somme positive

Article détaillé : Jeu à somme nulle.

On appelle jeu à somme nulle ou jeu strictement compétitifs, les jeux à deux joueurs dans lesquels l'intérêt de l'un des deux joueurs est strictement opposé à l'intérêt de l'autre joueur. Si les préférences des joueurs sont représentés par une fonction de gain ou une fonction d'utilité, alors la somme des deux fonctions est toujours égale à 0[2]. La théorie des jeux à somme nulle a été essentiellement développée par Morgenstern et von Neumann 1944[3].

Les échecs ou le poker sont des jeux à somme nulle car les gains de l’un sont très exactement les pertes de l’autre.

Le jeu Pierre Feuille Ciseau est un exemple de jeu à somme nulle. Le dilemme du prisonnier n'est pas un jeu à somme nulle.

Jeux répétés

La répétition d’un jeu, avec connaissance des résultats intermédiaires, change souvent fondamentalement son déroulement (les meilleurs coups et la conclusion).

Par exemple, il peut être utile de prendre ponctuellement le risque de perdre « pour voir », tester les autres joueurs, et mettre en place des stratégies de communication par les coups joués (à défaut d’autre moyen de communication).

Il se développe également des phénomènes de réputation qui vont influencer les choix stratégiques des autres joueurs. Dans le dilemme du prisonnier, le fait de savoir qu’on va jouer plusieurs fois avec un dur qui n’avoue jamais mais se venge cruellement, ou avec un lâche qui avoue toujours, change radicalement la stratégie optimale.

Enfin, curieusement, le fait que le nombre total de parties soit connu à l’avance ou non peut avoir des effets importants sur le résultat, l’ignorance du nombre de coups rapprochant du jeu avec un nombre infini de coup, alors que sa connaissance rapproche au contraire du jeu à un seul coup (et ce, aussi grand que soit le nombre de coups !)

Information complète, information parfaite

On dit qu'un jeu est à information complète si chaque joueur connaît lors de la prise de décision :

  • ses possibilités d'action
  • les possibilités d'action des autres joueurs
  • les gains résultants de ces actions
  • les motivations des autres joueurs

Par ailleurs on parle de jeu à information parfaite dans le cas de jeu à mécanisme séquentiel, où chaque joueur a connaissance en détail de toutes les actions effectuées avant son choix.

Les échecs sont à information complète et parfaite. Du fait de l'incertitude sur les gains (cartes de l'adversaire cachées), le poker est à information incomplète. La phase d'enchères vérifie les propriétés d'information parfaite, mais en assimilant le tirage des cartes à l'action d'un joueur fictif (souvent appelé Nature), la théorie des jeux exclut en général le poker des jeux à information parfaite.

Les situations réelles sont rarement en information complète, et ce cas ne sert souvent qu’aux approximations confiantes.

Les jeux en information incomplète sont des situations stratégiques où l'une des conditions n'est pas vérifiée. Ce peut être par l'intervention du hasard au cours du jeu (cas fréquent dans les jeux de société), ou parce qu'une des motivations d'un acteur est cachée (domaine important pour l'application de la théorie des jeux à l'économie).

Les jeux en information à la fois imparfaite et incomplète sont de loin les plus complexes. Dans ces jeux certains joueurs peuvent disposer d'informations propres sur la manière dont le hasard va intervenir dans l'issue du jeu (une meilleure connaissance des probabilités d'occurrence de tel ou tel événement qui va affecter le cours du jeu, par exemple). Les jeux de guerre (war games) relèvent typiquement de cette catégorie, l'aléa sur la réussite d'un engagement entre corps de troupes dépendant d'informations non partagées par les adversaires sur les rapports de force entre ces troupes.

Pour être complet, il convient aussi de distinguer les jeux à mémoire parfaite et à mémoire imparfaite. Les jeux à mémoire « parfaite » sont des situations où chaque joueur peut se rappeler à tout moment de la suite de coups qui ont été joués précédemment, au besoin en notant au fur et à mesure les coups joués. Les jeux à mémoire « imparfaite » supposent une sorte d'amnésie de la part des joueurs. Les jeux de guerre sont des exemples de jeux à mémoire imparfaite si les commandements de zones opérationnelles ne parviennent pas à communiquer entre eux ou avec l'État-Major et donc n'ont pas trace des mouvements déjà effectués par les troupes amies lorsqu'elles doivent décider de leurs propres mouvements. Un jeu typique est le 21 ou blackjack : la convention selon laquelle la suite de paquets de cartes n’est pas battue entre deux jeux peut donner un léger avantage au joueur dès lors que celui-ci prend en compte cette information partielle.

Jeux déterminés

Les jeux de Nim forment un cas particulier de jeu à somme nulle, sans intervention du hasard et dans la plupart des cas à nombre de situations finies. Dans leur cas particulier, la théorie des graphes fournit un outil plus utile que la théorie des jeux à proprement parler. La notion de noyau du jeu (ensemble des nœuds depuis lesquels la victoire est assurée si l’on y parvient en cours de jeu et qu’on joue de façon optimale ensuite) y est caractérisée.

Représentations des jeux

Forme normale

Article détaillé : Jeu sous forme normale.

Un jeu sous forme normale (ou jeu sous forme stratégique) est défini par :

  • l'ensemble des joueurs,
  • l'ensemble des stratégies possibles pour chacun des joueurs,
  • les préférences de chacun des joueurs sur l'ensemble des combinaisons stratégiques possibles[4].

L'ensemble des joueurs doit être fini[4].

L'ensemble des stratégies de chacun des joueurs peut être fini, par exemple dans le dilemme du prisonnier chaque joueur décide de coopérer ou non, ou infini, par exemple dans le duopole de Cournot, chaque joueur décide de la quantité de bien qu'il veut produire et peut choisir n'importe quelle valeur dans l'ensemble des réels positifs[4].

Les préférences peuvent aussi être représentées par une fonction d'utilité ou une fonction de gain[5],[6].

Matrice des gains

Dans un jeu à deux joueurs avec un ensemble fini de stratégies pour chacun des deux joueurs, comme par exemple le dilemme du prisonnier, il est courant de représenter le jeu sous sa forme normale à l'aide d'une matrice des gains ou matrice des paiements[5].

Il s'agit d'un tableau à double-entrée qui énumère sur chaque côté les stratégies possibles des joueurs respectifs. Dans la case à la croisée de deux stratégies, on note le couple de gains des deux joueurs.

Si le jeu est à somme nulle et à deux joueurs, alors on peut ne noter que les gains du premier joueur : ceux du second sont directement opposés.

Forme extensive

Dans tous les jeux, les décisions peuvent être représentées par un arbre, dont chaque nœud est associé au joueur qui décide. Chaque option constitue une branche. Les gains de tous sont associés aux terminaisons ou feuilles de l'arbre. Un joueur n’a toutefois pas besoin de savoir comment il est parvenu à un nœud : seul compte l'état présent du jeu, et les positions recherchées dans le futur. Lorsque certains mouvements ne sont autorisés qu’après un événement donné, cet événement n’est qu’un des éléments à matérialiser dans l’état présent du jeu et n'a pas besoin de faire partie d'un historique.

Une forme extensive de jeu est un arbre de décision décrivant les actions possibles des joueurs à chaque étape du jeu, la séquence de tours de jeu des joueurs, ainsi que l'information dont ils disposent à chaque étape pour prendre leur décision. Cette information est représentée sous forme d'ensembles d'information qui forment une partition des nœuds de l'arbre, chaque classe de la partition contenant les nœuds non distinguables par le joueur à une étape du jeu. Si ces classes sont des singletons, c’est-à-dire que chacune est constituée d'un seul nœud de l'arbre du jeu, le jeu est dit à information parfaite, ce qui signifie que chaque joueur sait à tout moment où il se situe dans l'arbre du jeu. Dans le cas contraire, le jeu est dit à information imparfaite[7]. L'information imparfaite est représentée sous la forme d'un joueur non rationnel : la « Nature », joueur qui prend aléatoirement certaines décisions à telle ou telle étape du jeu, orientant la suite du jeu vers un certain sous-arbre de l'arbre du jeu.

Concepts de solutions

Article détaillé : Concept de solution.

Plusieurs concepts de solutions ont été définis.

La solution du minimax

Dans le cadre d'un jeu à somme nulle, John von Neumann a définit la solution dite du minimax.

L'élimination itérée des stratégies dominées

On dit qu'une stratégie est dominée pour un joueur donné s'il existe au moins une autre stratégie telle que, quelles que soient les stratégies adoptées par les autres joueurs, cette autre stratégie est toujours au moins aussi bonne que la première et strictement meilleure dans au moins l'une des situations.

Si chaque joueur est rationnel, suppose que les autres joueurs sont rationnels et suppose que les autres joueurs supposent qu'il est rationnel, alors on peut définir l'équilibre du jeu comme celui qui serait obtenu par l'élimination successive des stratégies dites dominées[8].

L'équilibre de Nash

Article détaillé : Équilibre de Nash.

Un équilibre de Nash est situation telle qu'aucun joueur n'a intérêt à dévier unilatéralement de sa stratégie[9],[10].

Pour les jeux finis, c'est-à-dire les jeux pour lesquels l'ensemble des stratégies de chacun des joueurs est fini, on distingue l'équilibre de Nash en stratégies pures et l'équilibre de Nash en stratégies mixtes. Un équilibre de Nash en stratégies pures est l'équilibre d'un jeu dans lequel les joueurs choisissent uen stratégie de manière déterministe alors que l'équilibre de Nash en stratégie mixte est l'équilibre de l'extension mixte de ce jeu, c'est-à-dire du même jeu, dans lequel les joueurs choisissent de jouer les différentes stratégies possibles de manière probabiliste. Leur stratégie est alors définie par le vecteur de probabilités qu'ils associent à chacune des stratégies pures possibles[11].

Nash 1950 et Nash 1951 ont établi que tout jeu fini a au moins un équilibre de Nash en stratégie mixte[12],[13].

Théorie des jeux à champ moyen

Article détaillé : Jeux à champ moyen.

La théorie des jeux à champ moyen a été intoduite en 2006 par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions comme limite de jeux à un grand nombre de joueurs[14]. L'attrait principal de la théorie des Jeux à Champ Moyen réside dans la simplification considérable des interactions entre joueurs. Les joueurs déterminent alors leur stratégie optimale en considérant l'évolution de la communauté (de la foule de joueurs) dans son ensemble plutôt que l'ensemble des comportements individuels (de tous les autres joueurs pris un par un). Les jeux à champ moyen se situent ainsi à la frontière entre la théorie des jeux (jeux différentiels stochastiques pour être plus précis) d'une part, et l'optimisation d'autre part.

Applications

Les champs d’application de la théorie des jeux sont très variés.

Relations internationales

Le professeur Thomas Schelling et le professeur Robert Aumann, qui ont reçu conjointement le « prix Nobel d'économie » 2005, se sont spécialisés dans l'explication des diverses stratégies utilisées (à utiliser) dans les conflits internationaux, tels la guerre froide et la guerre nucléaire (dissuasion)[réf. nécessaire].

Économie

La théorie des jeux est un outil standard de l'analyse économique.

Voici une liste de quelques exemples célèbres :

Sciences Politiques

  • En 1957, Anthony Downs publie l'ouvrage An Economic Theory of Democracy dans lequel il applique la théorie des jeux (plus précisément le modèle de Hotelling 1929) pour modéliser la manière dont des partis ou des candidats cherchant à être élus choisissent leur programme électoral[18].

Biologie

  • Biologie évolutive , sociologie et génétique : des chercheurs ont utilisé la stratégie des jeux pour mieux comprendre l’évolution du comportement des espèces face à la modification de leur environnement. Plus précisément, la théorie des jeux est parfois utilisée pour identifier les stratégies pour lesquelles le gain (mesuré en survie et/ou reproduction) est le plus élevé[19].,

Des biologistes ont utilisé la théorie des jeux pour comprendre et prévoir les résultats de l’évolution, en particulier la notion d’équilibre évolutivement stable introduit par John Maynard Smith dans son essais La théorie des jeux et l’évolution de la lutte (Game Theory and the Evolution of Fighting). Voir aussi son livre Evolution and the Theory of Games.

Il est à remarquer qu’en théorie de l’évolution, l’adversaire principal d’un individu n’est pas vraiment l’ensemble de ses prédateurs, mais l'ensemble des autres individus de son espèce et des autres espèces apparentées. Comme le fait remarquer Richard Dawkins, un brontosaure n'a pas besoin, pour survivre, de courir plus vite que le tyrannosaure qui le poursuit (ce qui lui serait impossible), mais simplement plus vite que le plus lent de ses congénères. Des phénomènes semblables se produisent en économie. Tout cela rejoint des considérations psychologiques : la conflictualité est plus liée à la ressemblance qu'à la différence.

Philosophie

  • Les travaux de Kenneth Binmore ("Game Theory and the Social Contract: Playing Fair." (1994), "Game Theory and the Social Contract: Just Playing." (1998) et "Natural Justice" (2005)) utilisent la théorie des jeux pour fonder une théorie évolutionniste de la justice et de la morale.

Jeux de chiffres

John Conway a mis en place une notation pour certains jeux et défini des opérations sur ces jeux, dans l’espoir d’étudier le jeu de go. À partir d’associations surprenantes d’idées, il a isolé une sous-classe avec des propriétés numériques, et a abouti à définir la classe très générale des nombres surréels. Actuellement (2009), un ordinateur peut jouer au Go à un niveau amateur (voir Jeu de go en informatique)[réf. nécessaire].

Liste de jeux célèbres

Le dilemme du prisonnier

Article détaillé : dilemme du prisonnier.

Le dilemme du prisonnier est un jeu simultané à deux joueurs. Chacun des deux joueurs a deux stratégies possibles, coopérer ou ne pas coopérer.

- NC C
NC (3,3) (0,4)
C (4,0) (1,1)

Le jeu a un unique équilibre de Nash en stratégies pures (C,C)[20].

La bataille des sexes

Le jeu de la bataille des sexes modélise le problème de deux joueurs souhaitant sortir ensemble mais l'une des deux personnes préfère Bach tandis que l'autre préfère Stravinsky[21]. Ce jeu a été introduit dans la littérature sur la théorie des jeux par Luce et Raiffa 1957[3].

Le jeu peut être représenté sous forme normale par la matrice des gains suivante :

- Bach Stravinsky
Bach (2,1) (0,0)
Stravinsky (0,0) (1,2)

Le jeu comporte deux équilibres de Nash en stratégies pures : (Bach, Bach) et (Stravinsky,Stravinsky)[21].

Jeu de coordination

Le jeu de coordination comprend deux joueurs souhaitant se coordonner et ayant les mêmes préférences.

- Bach Stravinsky
Bach (2,2) (0,0)
Stravinsky (0,0) (1,1)

Le jeu de coordination comprend deux équilibres de Nash en stratégies pures (Bach, Bach) et (Stravinsky, Stravinsky)[22]

Pierre feuille ciseaux

Le jeu Pierre-feuille-ciseaux est un exemple simple de jeu à somme nulle.

- Pierre Feuille Ciseau
Pierre (0,0) (-1,1) (1,-1)
Feuille (1,-1) (0,0) (-1,1)
Ciseau (-1,1) (1,-1) (0,0)

Il n'existe pas d'équilibre de Nash en stratégies pures. Il existe un équilibre de Nash en stratégie mixte consistant pour chacun des joueurs à jouer chaque stratégie pure avec une probabilité 1/3.

Le concours de beauté

Moulin 1986 a proposé le jeu dit du concours de beauté. N joueurs doivent annoncer un nombre entre 1 et K. Le vainqueur est celui qui annonce le nombre le plus près de p fois la moyenne des annonces avec p un nombre entre 0 et 1[23].

Le jeu du mille-pattes

Le jeu du mille-pattes a été développé par Rosenthal en 1981[24]

Deux joueurs décident tour à tour de continuer ou d'arrêter le jeu. Les paiements sont tels que chaque joueur préfère la situation où il arrête le jeu en t à la situation où l'autre joueur arrête le jeu en t+1[25].

Bibliographie

Textes importants

  • Antoine Augustin Cournot, Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, 1838 
  • Louis Bachelier, « Théorie mathématique du jeu », dans Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, vol. 3, no 18, 1901, p. 143–210 [texte intégral] 
  • (de) Ernst Zermelo, « Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels », dans Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians, 1913 
  • Emile Borel, « La Théorie du Jeu et les Equations Intégrales à Noyau Symétrique », dans Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (Paris), no 173, 1921 
  • (de) John von Neumann, « Zur Theorie der Gesellschaftsspiele », dans Mathematische Annalen, vol. 100, no 1, 1928, p. 295-320 
  • (en) Harold Hotelling, « Stability in Competition », dans Economic Journal, 1929 
  • (en) Oskar Morgenstern et John Von Neumann, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944, 1re éd. 
  • (en) Oskar Morgenstern et John Von Neumann, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1947, 2e éd. 
  • (en) Oskar Morgenstern et John Von Neumann, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1953, 3e éd. 
  • (en) John Nash, « Equilibrium points in n-person games », dans Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 36, no 1, 1950 
  • (en) John Nash, « The Bargaining Problem », dans Econometrica, vol. 18, 1950, p. 155-162 
  • John Nash, « Non-cooperative games », dans Annals of Mathematics, vol. 54, 1951, p. 286–295 
  • (en) Luce et Raiffa, Games and Decisions, New York, John Wiley and Sons, 1957 
  • (de) Reinhard Selten, « Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit », dans Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft, no 121, 1965 
  • (en) John Maynard Smith, Evolution and the Theory of Games, Cambridge University Press, 1982 
  • (en) Hervé Moulin, Game Theory for the Social Sciences, New York University Press, 1er octobre 1986, 2e éd., 289 p. (ISBN 978-0814754313) 

Introductions

Manuels

Sources

Autres textes

  • Binmore, K. et Brandenburger, A. (1990), “Common knowledge and game theory,” in K. Binmore, Essays on the Foundations of Game Theory. Oxford: Blackwell.
  • Guillermo Owen, Game Theory, W.B. Saunders Company, Philadelphia, 1968

Notes et références

  1. John Nash, Reinhard Selten et John Harsanyi en 1994, Thomas Schelling et Robert Aumann en 2005 et enfin Leonid Hurwicz, Eric Maskin et Roger Myerson en 2007
  2. Rubinstein et Osborne 1994, p. 21
  3. a et b Rubinstein et Osborne 1994, p. 30
  4. a, b et c Rubinstein et Osborne 1994, p. 11, Définition 11.1
  5. a et b Rubinstein et Osborne 1994, p. 13
  6. Dans certains cas, la fonction de gain est aussi appelée fonction de paiement
  7. En fait le graphe du jeu peut-être vu comme n'étant plus un arbre, mais comme étant un Graphe acyclique orienté.
  8. Rubinstein et Osborne 1994, p. 60
  9. Don Ross, « Game Theory » sur The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward Zalta, 2011. Consulté le 6/11/2011
  10. Rubinstein et Osborne 1994, p. 14
  11. Rubinstein et Osborne 1994, p. 32
  12. Rubinstein et Osborne 1994, p. 33, Proposition 33.1
  13. Rubinstein et Osborne 1994, p. 51
  14. Voir la thèse de Olivier Guéant dirigée par Pierre-Louis Lions en ligne
  15. Cournot 1838
  16. Hotelling 1929
  17. William Vickrey (1961), "Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders", Journal of Finance, vol 16, p=8-37.
  18. (en) Anthony Downs, An Economic Theory of Democracy, Prentice Hall, 1957, 1re éd. (ISBN 978-0060417505) 
  19. Gouyon, P-H., Henry, J-P., Arnould, J. Les avatars du gène. Belin (Ed.)335p. ISBN 2-7011-2187-6
  20. Rubinstein et Osborne 1994, p. 16
  21. a et b Rubinstein et Osborne 1994, p. 15, exemple 15.3
  22. Rubinstein et Osborne 1994, p. 16, exemple 16.1
  23. Rubinstein et Osborne 1994, p. 35
  24. (en) Rosenthal, « Games of Perfect Information, Predatory Pricing and the Chain-Store Paradox », dans Journal of Economic Theory, vol. 25, 1981, p. 92-100 
  25. Rubinstein et Osborne 1994, p. 106-107

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


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