Théorie du producteur

Théorie néoclassique du producteur

La théorie néoclassique du producteur est le pendant de la théorie du consommateur (micro-économie). Il s'agit d'une modélisation économique du comportement d'un agent économique en tant que producteur de biens et de services. Suivant le cadre néoclassique, on considère comme producteur un agent qui transforme des entrant (inputs) en produits sortant (outputs) selon une fonction de production. On suppose également que ces agents ne rencontrent aucun problème de demande et que le niveau de la production est conditionné par l'offre (cadre de concurrence pure et parfaite).

Programme primal et programme dual

Technologie et ensemble de production

Ensemble de production

Définitions

Le producteur néoclassique est une « boîte noire » : on ne s'intéresse qu'à ce qui entre et à ce qui sort, sans se préocupper du mode exact de transformation des intrants en sortants. Dans tout ce qui suit, on va donc s'intéresser à la seule liste des sortants nets y = (y₁,...,y_n), où les facteurs de signe négatif correspondent aux intrants, les autres aux sortants.

Le plan de production est ainsi défini comme la liste des outputs nets du producteur.

On peut ainsi définir une relation d'ordre partielle sur l'ensemble des plans de production : un plan de production y_a est meilleur qu'un plan y_b, noté y_a > y_b si et seulement si la valeur absolue des inputs de y_a est inférieure (dont au moins un input strictement), soit la valeur absolue des outputs de y_a est supérieure (idem), soit les deux.

Un plan de production efficace est un plan de production tel qu'il n'existe aucun autre vecteur d'outputs nets meilleur que celui de ce plan de production.

L' ensemble de production est l'ensemble des plans de productions réalisables par un producteur donné.

Propriétés

On considère que les ensembles de productions économiques Y vérifient les propriétés suivants :

• l'ensemble de production est non-vide : il est possible au moins de ne rien produire, $0\in Y$
• monotonicité $\forall y\in Y, y'<y\Rightarrow y'\in Y$
• divisibilité : $\forall (y,\lambda), \lambda \in [0,1]\Rightarrow \lambda y\in Y$
• additivité : $\forall (y,y')\in Y^2, (y+y')\in Y$. Cette condition implique en particulier qu'il n'y a pas de difficulté à l'agrégation des ensembles de production.
• convexité : $\forall (y,y',\alpha)\in Y^2\times[0,1], (\alpha y + (1-\alpha)y')\in Y$

Sous ces hypothèses, on peut définir la fonction de production comme la frontière de l'ensemble de production.

Fonctions de productions

Voir aussi Fonction de production

Définition et propriétés

Par convention, on note y les outputs et x les inputs, sous forme de quantités positives. Cette forme de notation permet de définir des fonctions de production associées à un plan de production y = F(x).

D'après ce qui précède, si l'ensemble de production Y est convexe, alors F est concave.

On suppose presque toujours que les fonctions de production néoclasiques sont soumises à des rendements marginaux décroissants, qui sont l'équivalent pour le producteur du goût pour la diversité du consommateur : $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}<0$

Taux et élasticité de substitution

la combinaison de plusieurs facteurs dans des proportions fixées permet a l'entrepreneur de réaliser un niveau de production donné. certains facteurs ont la faculté de pouvoir être utilisés a la place d'autres. la relation entre la quantité de facteur pouvant être utilisée a la place d'un autre est mesurée par le taux de substitution. l'elasticité quant à elle mesure la variation d'un facteur engendrée par la variation d'un autre élément

Isoquantes de production

Les isoquantes de production sont l'ensemble des combinaisons d'inputs permettant d'obtenir le même niveau d'output.

Si les fonctions de production sont concaves, les isoquantes de production sont convexes.

Taux marginal de substitution technique

Le taux marginal de substitution technique (TMST) de Y à X est le rapport positif entre quantité y du facteurs Y qu'il est possible d'abandonner et la quantité x de X qu'il est possible de lui substituer pour maintenir constant le niveau de production. TMST = productivité marginale de X/productivité marginale de Y

Par analogie avec le taux marginal de substitution du consommateur, on définit le taux de substitution technique' comme : $TST=\frac{\partial F/\partial x_1}{\partial F / \partial x_2}$

Le TSMT est l'opposé de la pente des isoquantes de production (voir supra).

Rendements d'échelle

Article détaillé : Rendements d'échelle.

Une fonction de production présente des rendements d'échelle

• croissants si F(λx) > λF(x);
• décroissants si F(λx) < λF(x);
• constants si F(λx) = λF(x);

Elasticité de substitution

l'élasticité de substitution mesure le taux de variation de la quantité d'un facteur X1 engendré par un certain taux de variation des prix relatifs des deux facteurs r1 et r2.

L' élasticité de substitution σ est une mesure de la courbure des isoquantes :

$\sigma=\frac{\frac{\Delta x_2/x_1}{x_2/x_1}}{\frac{\Delta TST}{TST}}=\frac{\frac{d(x_2/x_1)}{x_2/x_1}}{\frac{dTST}{TST}}=\frac{dln(x_1/x_2)}{dln(TST)}$

Programme primal : la maximisation du profit

On suppose que les producteurs sont preneurs de prix, et plus généralement on se place dans le cadre de la concurrence pure et parfaite.

En première approche, on considère que le producteur cherche à mesurer son profit Π = p.y − c.x, où p et c sont respectivement le prix des outputs et le coût des inputs. L'ensemble des coûts de production pris en compte est très extensif, puisqu'il inclut la location des bâtiments, la rémunération de l'entrepreneur, la location du capital, etc.

Le programme du producteur s'écrit donc :

$(P) : \max_{x}\left\{\Pi=p.y-c.x\right\}$

sous contrainte : y = F(x)

La résolution de ce programme se fait au moyen d'un Lagrangien :

$\mathcal{L}=p.y-c.x-\lambda(y-F(x))$

qui donne les conditions au premier ordre :

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y_i}$	=	p − λ	=	0
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}$	=	$-c_i+\lambda\frac{\partial F}{\partial x_i}$	=	0
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}$	=	y − F(x)	=	0

On en tire la condition nécessaire d'optimalité :

$TST=\frac{\frac{\partial F(x)}{\partial x_i}}{\frac{\partial F(x)}{\partial x_j}}=\frac{c_i}{c_j}$

Il vient également :

$\frac{\partial F}{\partial x_i}=\frac{c_i}{p}$

ce qui signifie que la productivité marginale est égale au coût réel.

On peut alors terminer la résolution du programme pour obtenir l'offre de la firme y(p,c), les demandes de facteurs et le profit. Le Lemme de Hotelling met en évidence une relation entre le premier et le dernier de ces facteurs: $y(p,c)=\frac{\partial \Pi}{\partial p}(p,c)$ On démontre ce résultat par le théorème de l'enveloppe.

Sous les hypothèses ci-dessus, la fonction d'offre est homogène de degré zéro par rapport à p et c, et croissante par rapport à p.

Pour les mêmes raisons, les demandes de facteurs sont aussi homogènes de degré zéro en p et c.

Programme dual : la minimisation des coûts

On peut voir le problème du producteur comme la maximisation du profit, ou inversement comme une minimisation de ses coûts de production. L'enjeu est alors de montrer que les deux programmes conduisent au même résultat en termes de niveau de production et de demande des facteurs, donc de profit.

Voir aussi

Liens internes

• Microéconomie
• Fonction de production
• Théorie du consommateur (micro-économie)
• Rendements d'échelle

Liens externes

• Théorie du producteur
• Comportement du consommateur et du producteur, notion de surplus et analyse des politiques publiques
• La théorie de la production et des coûts

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