Théorème de Brun

Le théorème de Brun énonce le fait que la série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente. Sa limite est appelée constante de Brun.

Autrement dit la somme :

$\sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots$

(où $\mathbb{P}$ désigne l'ensemble des nombres premiers) est finie.

Note historique

Le mathématicien norvégien Viggo Brun restera dans les mémoires comme étant l'inventeur des méthodes modernes de cribles combinatoires. Entre 1917 et 1924, il inventera et perfectionnera cette théorie, dont le principe repose sur le crible d'Eratosthène. L'utilisation du principe d'inclusion-exclusion (appelé aussi en combinatoire inégalités de Bonferroni) permet de théoriser ce crible : si l'on pose (pour x assez grand)

$P = \prod_{p \leq \sqrt x} p$ le produit des nombres premiers $p \leq \sqrt x$,

alors une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier n tel que $\sqrt x < n \leq x$ soit premier est que pgcd(n,P) = 1. Ainsi, si π(x) désigne le nombre de nombres premiers $p \leq x$ et si l'on pose e₁(n) la fonction arithmétique valant 1 si n = 1 et 0 sinon, alors le crible d'Eratosthène s'écrit :

$\pi(x) - \pi(\sqrt{x}) + 1 = \sum_{n \leq x} e_1(pgcd(n,P))$.

En utilisant la formule d'inversion de Möbius, il vient :

$\pi(x) - \pi(\sqrt{x}) + 1 = \sum_{d \mid P} \mu(d) \left [ \frac {x}{d} \right ]$,

où [t] désigne la partie entière du réel t.

Comment estimer cette dernière somme ? A ce stade, si l'on utilise l'égalité évidente [t] = t + O(1), on obtient un terme d'erreur de $O(2^{\sqrt {x}})$ bien trop gros pour fournir des renseignements quant à la distribution des nombres premiers.

En fait, ce crible d'Eratosthène repose sur la formule d'inversion de Möbius qui s'écrit plus simplement $\sum_{d \mid n} \mu(d) = e_1(n)$, formule trop "directe" pour être utilisable en pratique. L'idée de Brun consiste à déterminer deux fonctions, notées disons μ₁ et μ₂, de sorte que l'on ait

$\sum_{d \mid n} \mu_1(d) \leq e_1(n) \leq \sum_{d \mid n} \mu_2(d)$

et telles que ces fonctions s'annulent suffisamment souvent pour obtenir des termes d'erreurs exploitables. La détermination de telles fonctions pose un problème délicat d'optimisation, et ce travail est toujours d'actualité aujourd'hui. Brun a choisi les fonctions suivantes :

Si l'on note 1_t la fonction indicatrice de l'ensemble des entiers n tels que $\omega(n) \leq t$ (où ω(n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n), alors on peut prendre pour tout entier $m \geq 0$ :

$\mu_1(n) = \mu(n) \times 1_{2m+1}(n)$ et $\mu_2(n) = \mu(n) \times 1_{2m}(n)$.

La théorie reposant sur ces fonctions conduit alors au résultat essentiel suivant :

$\sum_{p \leq x, \, p \, et \, p+2 \, premiers} 1 \ll x \left ( \frac {\ln \ln x}{\ln x} \right )^2$,

d'où l'on déduit que la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge.

Liens externes

• Le numéro du Bulletin des sciences mathématiques (1919, pages 100 et suivantes) dans lequel Brun énonce et démontre le théorème.