Théorème de Fréchet-Kolmogorov

 Ne doit pas être confondu avec Théorème de Fréchet-Riesz.

En analyse fonctionnelle, le théorème de Fréchet-Kolmogorov (noms auxquels on adjoint parfois Riesz et/ou Weil) donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble de fonctions soit relativement compact dans l'espace L^p. Il constitue une variante L^p du théorème d'Ascoli, dont il peut se déduire.

Énoncé

Soient $p\in[1,\infty[$ et $B\subseteq L^p(\mathbb{R}^n)$.

Le sous-ensemble B est relativement compact si et seulement si les trois propriétés suivantes ont lieu simultanément :

1. B est borné,
2. $\lim_{r\to\infty}\int_{|x|>r}\left|f\right|^p=0$ uniformément sur B,
3. $\lim_{a\to 0}\Vert\tau_a f-f\Vert_{L^p(\mathbb{R}^n)} = 0$ uniformément sur B, où τ_af désigne la translatée de f par a, c'est-à-dire τ_af(x) = f(x − a).

Références

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p. 72
• Marcel Riesz, « Sur les ensembles compacts de fonctions sommables », dans Acta Sci. Math. (en), vol. 6, 1933, p. 136–142
• (en) Radu Precup, Methods in nonlinear integral equations, Springer, 2002 (ISBN 9781402008443), p. 21