Théorème de Green-Tao

En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Green-Tao, dû aux mathématiciens Ben Green et Terence Tao en 2004^[1], s'énonce de la façon suivante :

« La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

Autrement dit, pour un entier naturel k arbitraire, il existe une suite arithmétique de k termes formée de nombres premiers. C'est un cas particulier de la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques.

Histoire

Le mathématicien Legendre, à la fin du XVIII^e siècle, avait affirmé sans démonstration le théorème de la progression arithmétique, selon lequel toute suite arithmétique infinie, dont le premier terme n'a pas de diviseur commun avec la raison, contient une infinité de nombres premiers.

Par exemple la suite des nombres impairs 3, 5, 7, 9, 11, ... est une suite arithmétique de raison 2. Comme 3 (le premier terme) et 2 (la raison) n'ont pas de diviseur commun, il y a une infinité de nombres premiers impairs. Cet exemple est évident, car à l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs (les nombres pairs sont divisibles par 2 donc les nombres pairs autres que 2 ne sont pas premiers). Un exemple moins élémentaire est le suivant : la suite 4, 7, 10, 13, 16, 19..., de raison 3 et de premier terme 4, contient une infinité de nombres premiers. Il y a deux autres suites de raison 3 :

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, ..., constituée de multiples de 3, ne contient aucun autre nombre premier (sauf 3)
• 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., contient une infinité de nombres premiers.

La démonstration de ce théorème, due au mathématicien allemand Dirichlet vers 1840, sera à la base d'une nouvelle discipline : la théorie analytique des nombres. Elle utilise des méthodes pour étudier les fonctions d'une variable complexe, afin d'en tirer des conclusions sur les nombres premiers. Il montre même mieux, par exemple que les deux suites de raison 3 citées plus haut (celle commençant par 2 et celle commençant par 1) contiennent en moyenne autant de nombres premiers l'une que l'autre (pourvue que l'on donne un sens convenable au terme « en moyenne »).

La question résolue par Green et Tao est différente, mais liée : peut on trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers ? Par exemple 3, 5, 7 est une suite arithmétique de longueur 3 (et de raison 2) constituée de nombres premiers.

• 5, 11, 17, 23, 29 est une suite de raison 6 et de longueur 5 ;
• 7, 37, 67, 97, 127, 157 est une suite de raison 30 et de longueur 6

La plus longue suite connue a été trouvée le 12 avril 2010 par Benoît Perichon et PrimeGrid ^[2] ; elle est constituée de 26 termes :

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 P(23) n, n allant de 0 à 25, avec P(23)=2.3.5.7.11.13.17.19.23=223 092 870.

Pourtant, Green et Tao ont montré que l'on peut trouver de telles suites de longueur aussi grande qu'on le souhaite. Mais leur théorème ne donne pas vraiment de moyens effectifs d'en construire une : il établit seulement qu'une telle progression arithmétique de longueur k existe, avec des entiers tous plus petits que :

$2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100k}}}}}}}$

(expérimentalement, cette borne semble plutôt devoir être de l'ordre de k!). Il assure également que pour tout entier k et tout réel δ strictement positif, pour tout x suffisamment grand, si P est un ensemble de nombres premiers inférieurs à x contenant au moins δπ(x) éléments (où π(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs à x), alors P contient au moins une progression arithmétique de nombres premiers comptant k termes^[3].

La technique utilisée a pour nouvelle source d'inspiration la théorie ergodique, une branche des systèmes dynamiques (ou équations différentielles). La première utilisation de cette méthode date sans doute des travaux de Hillel Furstenberg, qui redémontra le théorème de Szemerédi. Ce théorème affirme qu'une suite de densité positive possède des sous-suites arithmétiques de longueur arbitraire. Cependant la suite des nombres premiers n'est pas de densité positive. Le tour de force de Green et Tao est justement d'introduire de nouvelles méthodes permettant de contourner cette difficulté.

Notes et références

1. ↑ (en) Ben J. Green et Terence Tao, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », dans Annals of Mathematics, vol. 167, 2008, p. 481-547 [[Texte en accès libre sur arXiv : math.NT/0404188. texte intégral]] 
2. ↑ (en) Primes in Arithmetic Progression Records Consulté le 19/07/2010
3. ↑ Tous ces résultats proviennent de (en) Andrew Granville (en), Prime Number Patterns, document de vulgarisation qui contient de nombreuses autres conséquences amusantes du résultat de Green et Tao.