Théorème de Peano

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

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Enoncé

Soient E un Espace de Banach de dimension finie, $H \subset E$ une partie ouverte convexe de E. Soit I = [t₀ − a,t₀ + a] un intervalle de $\mathbb{R}$ ($t_0\in \mathbb{R},a>0$), soit f une fonction continue et bornée de $I\times H$ dans E. Soit $M= \sup_{(t,x)\in I\times H} \mid \mid f(t,x)\mid \mid$.
Soient $x_0\in H$ et r > 0 tels que $B=B(x_0,r) \subset H$.
Alors, il existe une solution au problème :
x' = f(t,x)
x(t₀) = x₀
définie sur l'intervalle [t₀ − c,t₀ + c] où $c=\inf(a,\frac{r}{M})$, et à valeurs dans B.

N.B. : Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.

Exemples

Les exemples suivants donnés par Peano^[1]

L'équation $\frac{dx}{dt}=3x^{2/3}$ où le second membre est continu en x=0 sans être lipschitzien, admet les solutions x = t³ et x = 0 qui s'annulent toutes les deux en t = 0 ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur (t − a)³ pour t > a.

L'équation $\frac{dx}{dt}=\frac{4xt^3}{x^2+t^4}$ toujours avec la condition x(0)=0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive)

1. x(t) = t²
2. x(t) = − t²
3. x(t) = 0
4. $x(t)=C-\sqrt{C^2+t^4}$
5. $x(t)=\sqrt{C^2+t^4}-C$

Références

1. ↑ Peano,Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires,Mathematische annalen, T37,1890,p227

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