Théorème de convergence monotone

En mathématiques, le théorème de convergence monotone, ou théorème de Beppo-Levi, est l'un des théorèmes importants de la théorie des intégrales au sens de Lebesgue avec le théorème de convergence dominée, qui s'en déduit.

Ce théorème indique que la convergence simple vers f d'une suite croissante de fonctions mesurables positives implique la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de f.

Le théorème autorise donc de permuter le symbole d'intégration $\int$ et celui de passage à la limite lim , lorsqu'il s'agit de fonctions positives formant une suite croissante. Sous une autre forme, il permet de permuter les deux symboles $\int$ et $\sum$ dans le cas des séries à termes positifs.

Énoncé du théorème

Soit $\scriptstyle(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. Pour toute suite croissante (f_n) de fonctions mesurables sur E à valeurs dans [0,+∞], la limite simple de la suite est mesurable et l'on a :

$\lim\left(\int f_n~\mathrm d\mu\right)=\int(\lim f_n)~\mathrm d\mu.$

Comme corollaire important, si les intégrales $\scriptstyle\int f_n~\mathrm d\mu$ sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction $\scriptstyle\lim f_n$ est intégrable, donc finie presque partout, et on peut exprimer le résultat en disant que la suite (f_n) converge vers f pour la norme L¹.

On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une série de fonctions mesurables u_n à valeurs positives ou nulles. Le théorème dit que l'on a toujours

$\sum\left(\int u_n~\mathrm d\mu\right)=\int\left(\sum u_n\right)~\mathrm d\mu.$

Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales converge, alors la série des u_n est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout x, la série $\scriptstyle\sum u_n(x)$ converge.

Histoire

Au début du XX^e siècle, une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de Lebesgue, « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les Comptes Rendus du 29 avril 1901. Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (en) (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi.

Remarques

Convergence simple

Une fonction non élémentaire en mathématiques est souvent construite comme limite d'une suite et plus généralement d'une série. Ces fonctions sont par exemple obtenues par une construction de type série entière ou par les méthodes de l'analyse harmonique.

Parfois, cette série converge bien. Par bien converger, on entend la convergence au sens d'une topologie forte ou d'une bonne distance. Par exemple, la distance de la convergence uniforme qui indique qu'une section finissante de la suite se trouve dans une bande de largeur aussi petite que l'on veut.

Malheureusement une convergence forte est rare. Par exemple la suite des polynômes (xⁿ) sur l'intervalle [0, 1] ne converge pas uniformément. Un critère de convergence peu contraignant est la convergence simple, qui indique uniquement qu'en chaque point les fonctions convergent. La régularité de la convergence n'est pas assurée. Si le critère de convergence est peu contraignant, il offre hélas des propriétés peu enrichissantes. C'est la raison pour laquelle on appelle la topologie associée la topologie faible. C'est le cas de notre exemple qui converge vers la fonction égale à 0 sur l'intervalle [0,1[ et vers 1 en 1.

Convergence presque partout

Presque partout signifie que la propriété est vraie en chaque point sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle. En effet, le comportement d'une fonction est invariant pour l'intégrale de Lebesgue si la fonction n'est modifiée que sur un ensemble de mesure nulle.

Séries doubles

Dans le cas particulier où l'espace mesuré est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à termes positifs.

Intérêt du théorème

L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans L¹(E). Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'espaces de fonctions comme l'espace des séries entières, des fonctions harmoniques ou des espaces de Hardy ou de Sobolev.

Le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée peuvent être établis en utilisant le théorème de convergence monotone. Ce théorème est aussi utilisé pour construire les mesures à densité et pour démontrer le théorème de Fubini.

Non validité dans le cadre de la théorie de Riemann

Considérons l'exemple suivant : soit (u_n) une énumération de tous les rationnels compris entre 0 et 1. Définissons la suite de fonctions (f_n) sur l'intervalle [0,1] par :

$f_n(x)=1\quad\text{si}\quad x\in\{ u_0,\ldots,u_n\},\quad f_n(x)=0\quad\text{sinon}.$

Cette suite converge simplement vers la fonction qui est nulle sur les irrationnels et de valeur 1 sur les rationnels. Le problème est que cette fonction n'est pas intégrable au sens de Riemann.

Démonstration du théorème de convergence monotone

Démonstration

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Notons

$I_n=\int f_n~\mathrm d\mu\quad\text{et}\quad I=\int f~\mathrm d\mu.$

Comme la suite de fonctions f_n est croissante et majorée par f, la suite (I_n) (à valeurs dans [0,+∞]) est croissante – donc sa limite (éventuellement infinie) existe – et cette suite est majorée par I. On a donc :

$\lim I_n\le I.$

Pour démontrer l'inégalité dans l'autre sens, considérons une fonction étagée s telle que

$0\le s\le f$.

Soit c une constante strictement inférieure à 1, posons

$E_n=\{x\in E\mid f_n(x)\ge cs(x)\}.$

Par construction, on a :

$I_n\ge\int_{E_n}f_n~\mathrm d\mu\ge c\int_{E_n}s~\mathrm d\mu.$

De plus, les ensembles mesurables E_n forment une suite croissante dont la réunion est E. Par conséquent,

$\int_{E_n}s~\mathrm d\mu=\int s~\mathrm d\mu.$

Donc,

$\lim I_n\ge c\int s~\mathrm d\mu,$

et ce pour tout c < 1, si bien que

$\lim I_n\ge\int s~\mathrm d\mu.$

Comme cette inégalité est vraie pour toute fonction étagée positive s majorée par f, par définition de I on obtient bien :

$\lim I_n\ge I.$

Liens externes

• Théorèmes de Lebesgue, cours de Daniel Choï, université de Caen
• Théorème de convergence monotone sur les-mathematiques.net