Théorème de factorisation de Weierstrass

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En mathématiques, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par leurs zéros.

Le théorème de factorisation de Weierstrass

Du développement en série entière suivant pour $u\in\; ]-1;1[$ :

$\ln(1-u)=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\ldots-\frac{u^n}{n}-\ldots$

on déduit que la fonction tronquée aux n premiers termes

$E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m},$

est sensiblement égale à 1 sur [-1,1], sauf dans un voisinage de u=1 où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs E(u,m) sont appelés facteurs primaires de Weiestrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière f d'ordre fini ρ et s'annulant sur les nombres complexes $a_n \neq 0$ ; il existe un polynôme P(s) de degré inférieur ou égal à ρ, et un entier $m \le \rho$ tels que l'on ait

$f(s)=s^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac{s}{a_n},m\right).$

Le facteur s^p n'est là que pour les fonctions ayant un zéro d'ordre p en 0.

Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre ρ si ρ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur ρ ou la valeur ρ − 1 si l'ordre ρ est entier. L'entier m est majoré par ρ. L'un des deux entiers au moins est égal à ρ si l'ordre est entier.

Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

Le théorème de Hadamard

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini ρ s'énonce ainsi

« Pour toute fonction méromorphe f(s) d'ordre fini ρ il existe deux entiers m₁ et m₂ plus petits que ρ, et un polynôme q(s) de degré inférieur à ρ tels que $f(s)=e^{q(s)}\frac{p_1(s)}{p_2(s)},$ où p₁(s) et p₂(s) sont des produits de fonctions canoniques d'ordres m₁ et m₂ batis sur les zéros a_i et les pôles b_i de f. $p_1(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\Big(\frac{s}{a_n},m_1\Big)},$ $p_2(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\Big(\frac{s}{b_n},m_2\Big)},$ avec $E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}.$ »

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant:

«  toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions entières. »