Théorème de heine

Théorème de Heine

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de [a,b] dans $\mathbb R$ est uniformément continue sur [a,b].

Énoncé et démonstration pour les fonctions numériques

Énoncé

Soit une fonction f de [a,b] dans $\mathbb R$, continue sur le segment [a,b]. Alors, f est uniformément continue sur ce segment.

Utilisation

f étant continue en tout point x, nous savons donc que :

$\forall x \in [a,b], \forall \epsilon > 0, \exists \alpha_{x,\epsilon} > 0$ tel que $\forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_{x,\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Le théorème de Heine permet donc d'affirmer qu'elle est uniformément continue sur le segment [a,b], c'est à dire que le α peut être choisi indépendamment de x, ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs :

$\forall x \in [a,b], \exists \alpha_x$ en $\exists \alpha, \forall x \in [a,b]$.

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha_\epsilon > 0$ tel que $\forall x \in [a,b], \forall y \in [a,b], |x-y|<\alpha_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$.

Démonstration

Fixons un ε > 0 et posons, pour tout $x\in[a,b]$, $\beta_x=\frac 1 2\alpha_{x,\epsilon/2}$ (où les α_{x,ε / 2} sont ceux liés à la continuité de f). Considérons $[a,b]=\cup_{x\in[a,b]} \{x\} \subset \cup_{x\in[a,b]} B(x,\beta_x)$. C'est un recouvrement de [a,b] par des ouverts donc (d'après le Théorème de Borel-Lebesgue) on peut en extraire un sous-recouvrement fini : $[a,b]\subset\cup_{z\in Z}B(z,\beta_z)$ pour une certaine partie finie Z de [a,b].

Posons $\alpha=min_{z\in Z}\beta_z$. Alors, pour tous $x,y\in[a,b]$ tels que | x − y | < α, en choisissant un $z\in Z$ tel que $x \in B(z,\beta_z)$ on obtient | x − z | < β_z et $|y-z|<\alpha+\beta_z\le 2\beta_z=\alpha_{z,\epsilon/2}$, donc

$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$.

La valeur α trouvée étant bien indépendante de x, l'uniforme continuité est démontrée.

Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

On se place dans le cas général de deux espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0$ tel que $\forall a,b\in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon$.

Pour montrer cela, on peut reproduire la démonstration précédente en remplaçant simplement [a,b] par X, $\mathbb R$ par Y, Théorème de Borel-Lebesgue par définition de la compacité (ou même directement par précompacité), et valeur absolue de la différence par distance.

Une autre méthode est de raisonner par contraposée en supposant f non uniformément continue sur X et en prouvant qu'elle n'est alors pas continue sur X. Par hypothèse, il existe ε > 0 tel que pour chaque α > 0, l'implication $d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon$ soit fausse pour certains a,b, en particulier tel que pour chaque $n\in N^*$, il existe deux points a_n et b_n de X tels que

$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ et $d'(f(a_n),f(b_n))\ge\epsilon$.

La suite (a_n) est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note $\varphi\,$ l'extraction et a la limite de la sous-suite. La relation $d(a_{\varphi(n)},b_{\varphi(n)})<\frac{1}{\varphi(n)}$ montre que $(b_{\varphi(n)})$ converge aussi vers a. Il s'ensuit que pour tout η > 0, il existe $x,y\in B(a,\eta)$ tels que $d'(f(x),f(y))\geq\epsilon$ donc tels que $d'(f(x),f(a))\geq\epsilon/2$ ou $d'(f(y),f(a))\geq\epsilon/2$, ce qui prouve la non continuité de f au point a.

Voir aussi

• Lemme de Cousin

Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Heine ».