Théorème des 3 séries de Kolmogorov

Le Théorème des 3 séries de Kolmogorov concerne la convergence d'une série dont les termes sont des variables aléatoires indépendantes.

Théorème des 3 séries de Kolmogorov — Soit $\scriptstyle\ \left(X_n\right)_{n\ge 0}\$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La série $\scriptstyle\ \sum_{n\ge 0}\ X_n\$ est presque sûrement convergente si et seulement si il existe un réel $\scriptstyle\ c>0\$ tel que les trois conditions suivantes soient remplies simultanément :

• $\ \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{P}\left(|X_n|\ge c\right)<+\infty\ ;$

• $\ \sum_{n\ge 0}\ \text{Var}\left(X_n\ 1_{|X_n|\le c}\right)<+\infty\ ;$

• $\ \sum_{n\ge 0}\ \mathbb{E}\left[X_n\ 1_{|X_n|\le c}\right]\ \text{converge.}$

Référence

Sidney I. Resnick, A Probability Path [détail des éditions] Section 7.6, page 226.

Voir aussi

• Andreï Kolmogorov
• Loi forte des grands nombres

Liens externes

• Le site officiel en l'honneur d'Andreï Kolmogorov
• Un site sur son livre fondateur de la théorie moderne des probabilités, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933