Théorème du moment cinétique

En mécanique classique, le théorème du moment cinétique est un résultat fondamental, corollaire utile des lois du mouvement de Newton. Il se révèle très pratique dans l'étude des problèmes à deux corps et en mécanique du solide.

Le théorème du moment cinétique est notamment utilisé dans l'étude des mouvements à force centrale, car celles-ci ont une contribution nulle au moment cinétique pris en un point particulier, ce qui simplifie parfois grandement l'analyse. C'est ainsi qu'il est utilisé pour démontrer la seconde loi de Kepler décrivant les mouvements des planètes autour du Soleil. D'un point de vue plus fondamental, le théorème du moment cinétique est une des applications directes d'un théorème mathématique appelé théorème de Noether.

Le théorème du moment cinétique relie deux quantités physiques : le moment cinétique et l'ensemble des moments des forces s'exerçant sur un objet donné..

Mécanique du point

Énoncé

On se place dans un référentiel galiléen^[1]. On considère un point fixe, de rayon vecteur r'. Soit un point matériel repéré par le rayon vecteur r, de masse m, de vitesse v et de quantité de mouvement p. Le moment cinétique du point matériel par rapport au point r' est défini par :

$\boldsymbol L_{\boldsymbol r'} = (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \boldsymbol p = m (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \boldsymbol v$,

où le symbole ∧ représente le produit vectoriel usuel. En notant F l'ensemble des forces s'appliquant sur le point matériel, on définit le moment de F en r' par :

$\boldsymbol {\mathcal M}_{\boldsymbol r'} = (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \boldsymbol F$.

Le théorème du moment cinétique énonce que :

$\frac{{\rm d}\boldsymbol L_{\boldsymbol r'}}{{\rm d} t} = \boldsymbol {\mathcal M}_{\boldsymbol r'}$.

Démonstration

En effectuant l'opération de dérivation sur le moment cinétique, on a :

$\frac{\mathrm d \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d \left( (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \boldsymbol p \right)}{\mathrm dt} = (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \frac{\mathrm d \boldsymbol p }{\mathrm dt} + \frac{\mathrm d (\boldsymbol r - \boldsymbol r')}{\mathrm dt} \wedge \boldsymbol p$.

D'après le principe fondamental de la dynamique, la dérivée de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces. D'autre part, la quantité de mouvement est colinéaire à la vitesse, donc le second produit vectoriel est nul. On a ainsi

$\frac{\mathrm d \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}}{\mathrm dt} = (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \wedge \boldsymbol F + \boldsymbol 0$,

soit

$\frac{\mathrm d \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}}{\mathrm dt} = \boldsymbol{\mathcal M}_{\boldsymbol r'}$.

Utilisation : équation du pendule simple

Article détaillé : Pendule simple.

Le cas du pendule simple est facilement traité par le théorème du moment cinétique.

On considère un pendule simple, constitué d'une masse m, repéré par sa position en coordonnées polaires (r, θ) et accrochée par un fil inextensible parfait de longueur l à un point fixe O correspondant à l'origine du système de coordonnées. Le pendule est supposé soumis uniquement au champ de pesanteur, considéré uniforme et égal à g, de direction et de module constant. Le fil forme un angle θ avec la verticale.

Le moment des forces autre que le poids (réaction au niveau de la liaison pivot et force de tension du fil) pris au point d'attache du fil au support O est nul. Le moment exercé par le poids à ce point d'attache est :

$\boldsymbol {\mathcal M}_{O} = m \boldsymbol r \wedge \boldsymbol g = - mgl \sin \theta \boldsymbol e_z$.

Le moment cinétique de la masse en O s'écrit :

$\boldsymbol L_O = l \boldsymbol e_r \wedge \left(m l \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} \boldsymbol e_\theta \right) = ml^2 \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt} \boldsymbol e_z$.

En dérivant cette dernière relation, et en projetant le long de l'axe e_z, on a, d'après le théorème du moment cinétique :

$ml^2 \frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm dt^2} = - mgl \sin \theta$,

ou bien, la dérivée par rapport au temps par un point :

$\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0$.

C'est la formule bien connue de l'équation du pendule plan simple.

Mécanique des systèmes de points

Définition du moment cinétique d'un système de points matériels

Soit un système (S) de points matériels M_i de masse m_i, que l'on repère par rapport à une origine O d'un repère (r), en posant $\boldsymbol r_i = \boldsymbol {OM_i}$, et $\boldsymbol {v_i} = \frac{{\rm d}\boldsymbol {r_i}}{{\rm d}t}$ la vitesse de chaque point matériel par rapport au référentiel (R) auquel est associé le repère d'espace (r).

Avec ces notations il est possible de définir le moment cinétique total du système de points (S) par rapport à l'origine O, dans le référentiel (R) comme:

$\boldsymbol L_O = \sum_i \boldsymbol r_i \times (m_i\boldsymbol v_i)$

Théorème de Koenig

Soit C le centre d'inertie du système de masse totale

M =	∑	mi
	i

, (R_C) le référentiel dit barycentrique, lié à C et en mouvement de translation par rapport au référentiel d'étude (R), il est possible de démontrer le théorème suivant:

$\boldsymbol L_O = \boldsymbol r_C \times (M \boldsymbol v_{C/(R)}) + \boldsymbol L_*$

Note

1. ↑ L'utilisation d'un référentiel non-galiléen a pour effet la violation du principe fondamental de la dynamique, à moins qu'on y introduise les forces d'inertie. Le théorème du moment cinétique reste valable dans un tel référentiel si on prend en compte l'effet de ces deux forces virtuelles.

Voir aussi

• Moment, moment cinétique et inertiel;
• Seconde loi de Newton ;
• Mécanique classique, du point et du solide ;
• Problème à deux corps et à force centrale.