Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un Hilbert

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un Hilbert

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert est un théorème d'analyse fonctionnelle.

Énoncé

Si H est un espace de Hilbert, et F un sous-espace vectoriel fermé de H, alors l'orthogonal de F est un sous-espace supplémentaire de F, c'est-à-dire que H = F \oplus F^\bot

Démonstration

F est un espace vectoriel, donc convexe, et fermé par hypothèse. On peut donc appliquer le théorème de projection sur un convexe fermé :

\forall z \in H, \exists! x \in F, \|z-x\|=\inf_{u\in F} \|z-u\|

Notons y = zx. Par définition de x, on a:

\forall u \in F, \|y\|^2 = \|z-x\|^2 \le \|z-u\|^2 = \|y+x-u\|^2 =\|y\|^2+\|x-u\|^2+2\langle y,x-u\rangle

d'où  \forall u \in F, \|x-u\|^2 + 2\langle y,x-u\rangle \ge 0 .

Prenons v et posons u = x + εv. L'inéquation devient alors

 \forall v \in F, \forall \epsilon \in R, \epsilon^2 \|v\|^2-2\epsilon \langle y,v\rangle \ge 0

D'où, en choisissant d'abord un ε puis son opposé dans l'expression ci-dessus :

\forall v \in F, \forall \epsilon \in R,\begin{cases}\epsilon ^2\|v\|^2+2\epsilon\langle y,v\rangle \ge 0 \\ \epsilon ^2\|v\|^2-2\epsilon\langle y,v\rangle \ge 0\end{cases}

d'où, en se restreignant à R + et en simplifiant par ε :

\forall v \in F, \forall \epsilon \in R^+,\begin{cases}\epsilon \|v\|^2+2\langle y,v\rangle \ge 0 \\ \epsilon \|v\|^2-2\langle y,v\rangle \ge 0\end{cases}

d'où, en faisant tendre ε vers 0,

\forall v \in F, \langle y,v\rangle =0

c'est-à-dire y \in F^\bot.

Et donc on peut décomposer z en

z=x+ y, x \in F, y \in F^\bot

Comme on a toujours F \cap F^\bot = 0,

on peut donc enfin conclure

H = F \oplus F^\bot

Conséquences

L'application pF qui a z associait x, ci-dessus, définie en minimisant une distance, s'appelle le projecteur sur F.

Il a bien la particularité d'un projecteur au sens classique (bien que défini topologiquement, et non algébriquement), i.e. p_F\circ p_F=p_F.

Lorsque, comme dans notre cas, H = F \oplus F^\bot on appelle ce projecteur le projecteur orthogonal sur F, et on peut préciser de noyau F^\bot et d'image F.

On peut alors montrer que pF est linéaire.

En effet, par unicité de la décomposition dans deux sous-espaces vectoriels orthogonaux et supplémentaires, si z=x+ y, x \in F, y \in F^\bot, alors pF(z) = x.

Du coup, soient z = x + y,z' = x' + y' les décompositions de deux vecteurs, on en déduit la décomposition z + λz' = (x + λx') + (y + λy') et donc pF(z + λz') = x + λx' = pF(z) + λpF(z').

On retombe bien sur la définition algébrique habituelle d'un projecteur, que l'on connaissait bien pour les espaces de dimension finie.

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