Axiomes Des Probabilités

Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) $\ P$ est une application qui à un évènement $\ A$ quelconque lié à l'expérience aléatoire $\mathcal E$ associe un nombre réel (noté $\ P(A)$) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés

Premier axiome

Pour tout évènement $\ A$ :

$0 \leq P(A) \leq 1.$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

$\ \Omega$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

$\ P(\Omega) = 1$,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_1,\, A_2, \dots$ satisfait :

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} P(A_i)$.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

• $P(\emptyset)=0.$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec $\scriptstyle\ A_k=\emptyset\$ pour tout $\scriptstyle\ k.\$ On obtient

$P(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}P(\emptyset),$

relation qui n'est pas satisfaite si $\scriptstyle\ P(\emptyset)\in]0,1],\$ puisqu'alors le terme de droite vaut $\scriptstyle\ +\infty.\$ Donc il ne reste que $\scriptstyle\ P(\emptyset)=0,\$ qui d'ailleurs convient.

• Si $\ A$, $\ B$ sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors

$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$

• Plus généralement, si $\ (A_k)_{1\le k\le n}$ est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors

$P\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}P(A_k).$

Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec $\scriptstyle\ A_k=\emptyset\$ pour tout $\scriptstyle\ k\ge n+1.\$ On obtient bien une suite d'évènements incompatibles 2 à 2 tels que

$\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,$

donc

$P\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=P\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),$

mais en vertu du troisième axiome

$P\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}P\left(A_k\right)$

et finalement, puisque pour tout $\scriptstyle\ k\ge n+1,\$ $P\left(A_k\right)=P\left(\emptyset\right)=0,\$ on obtient le résultat désiré.

• $P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$;

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence $P(B) - P(A \cap B)$. Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de $B \setminus A$ et de $A \cap B.$

• En particulier, si $A \subset B$, alors

$P(A) \leq P(B)$

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où $A \subset B$, la propriété précédente s'écrit

$P(B \setminus A) =P(B) - P(A),\$ où le premier terme est clairement positif ou nul.

• Dans le cas particulier où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement $\ A$,

$P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)$

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

• Pour tous évènements $\ A$, $\ B$,

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $\ A$ se réalise, et pour que $\ B$ se réalise, moins la probabilité pour que $\ A$ et $\ B$ se réalisent simultanément. De même,

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(C \cap A) - P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C).$

• Ces deux dernières formules sont des cas particuliers (n=2,3) du Principe d'inclusion-exclusion:

$\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),$

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

Limites croissantes et décroissantes

• Toute suite croissante d'évènements $A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots$ satisfait :

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} P(A_n).$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Démonstration

On pose

$B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.$

Alors les B_i sont disjoints et vérifient

$\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}^nB_k=A_n.$

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent alors que

$\sum_{n\ge 1}P(B_n)=P\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}^nP(B_k)=P(A_n).$

Alors $\scriptstyle\ P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} P(A_n)$ n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

• Toute suite décroissante d'évènements $A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots$ satisfait :

$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} P(A_n).$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Formulation à partir de la théorie de la mesure

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement mais plus abstraitement ce qui précède par un triplet $(\Omega,\mathcal{A},P)$ représentant un espace de probabilités, ce qui permet d'utiliser directement les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue.

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