Tonneau (formules)

Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, beaucoup de formules ont été proposées, mais aucune ne donne exactement le volume. Après un rappel historique des différents auteurs, d'autres formules seront expliquées et proposées. Des formules complémentaires, en fonction de la hauteur de liquide, ou encore relatives aux surfaces, seront également présentées.

Quelques formules historiques

Tonneau couché

• Kepler a donné une formule approchée

$V = \frac {\pi L} {12} (D^2+Dd+d^2)$

• Oughtred a modifié la formule :

$V = \frac {\pi L}{12} (2D^2+d^2)$

• Une instruction du ministère de l'Intérieur en pluviôse de l'an VII fixa la formule suivante^[1] :

$V = \frac {\pi L}{4} \left( d + \frac 23 (D-d) \right)^2$

Ou encore : $V = \frac {\pi L}{36} (2D+d)^2$

• Dez^[2] a établi la formule :

$V = \frac {\pi L}{4}\left( d + \frac 58 (D-d) \right)^2$

Ou encore : $V = \frac {\pi L}{256} (5D+3d)^2$

• Les Douanes emploient la formule :

V = 0,625C³

Dans laquelle C représente la diagonale allant du trou de bonde au point le plus éloigné de ce trou. Elle est très rapide, car elle n'exige qu'une seule mesure. On peut même avoir immédiatement le volume en marquant sur une règle les volumes calculés d'après les C correspondants.

Calcul

La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Cette courbe génératrice passe par trois points.

$V = \int S\, \mathrm dx$

Où S est la surface du disque de rayon y

$V = 2\pi\int_0^{\frac{L}{2}} y^2\, \mathrm dx$

Exemples :

• Parabole

C'est une courbe passant par trois points très commode en mathématiques.

Et la parabole s'exprime par : y = ax² + b

Avec $a=\frac{2(d-D)}{L^2}$ et $b=\frac D2$

Le polynôme s'intègre facilement, et on obtient : $V=\frac {\pi L} {60} (8D^2+3d^2+4Dd)$

• Ellipse

Elle a pour équation :

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Où $a=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac {d}{D})^2}}$ et $b=\frac {D}2$

D'où la formule

$V=2\pi b^2\int_0^\frac{L}{2}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\mathrm dx$ s'intègre facilement elle aussi, et on obtient :

$V=\frac{\pi L}{12}(2D^2+d^2)$

On retrouve la formule d'Oughtred.

• Cercle

C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas, mais elle est difficile à manipuler. L'équation s'exprime par :

x² + (y − b)² = R² (cercle de centre H, de rayon R et passant par A et B)

avec $b=\frac{D^2-d^2-L^2}{4(D-d)}$ et $R=\frac{(D-d)^2+L^2}{4(D-d)}$

$V=2\pi \int_0^\frac{L}{2}(b+\sqrt{R^2-x^2})^2\mathrm dx$

$V=\pi\left(L\left(b^2+R^2-\frac{L^2}{12}\right)+2bR^2\left(\arcsin\frac{L}{2R}+\frac{L}{2R}\sqrt{1-\left(\frac{L}{2R}\right)^2}\right)\right)$

• Droite

Plus simplement on peut prendre deux droites génératrices. On obtient deux troncs de cône.

$V = \frac {\pi L} {12} (D^2+Dd+d^2)$

C'est la formule de Kepler.

• Résistance des matériaux

Une poutre sur deux appuis simples ou une poutre encastrée se déforme en flexion selon une courbe :

$y=\frac {D-d}{2}\Bigl(4\left(\frac{x}{L}\right)^3-3\frac{x}{L}\Bigr)-\frac{d}{2}$

$V=\frac{\pi L}{560}(68D^2+33d^2+36dD)$

• Autres formules

Cosinus

y = acos bx avec $a=\frac{D}{2}$ et $b=\frac{2}{L}\arccos \frac{d}{D}$

$V=2\pi\int_0^\frac{L}{2} \frac{D^2}{4} \cos^2 bx\mathrm dx$

$V=\frac{\pi D^2 L}{8}(1+\frac{\frac {d}{D}\sqrt{1-(\frac{d}{D})^2}}{\arccos \frac{d}{D}})$

Cosinus hyperbolique

y = acosh bx avec $a=\frac{d}{2}$ et $b=\frac{2}{L} \operatorname{argcosh} \frac{D}{d}$

$V=2\pi\int_0^\frac{L}{2} \left(\frac{D+d}{2}-a\cosh^2 bx\right)\mathrm dx$

$V=\pi L\left (\left(\frac{D+d}{2}\right)^2+\frac{d^2}{8}-\frac{d}{8}(3D+4d)\frac{\sqrt{(\frac{D}{d})^2-1}}{\operatorname{argcosh}\frac{D}{d}}\right)$

Hyperbole

$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$

Où $a=\frac{L}{2\sqrt{(\frac{D}{d})^2-1}}$ et $b=\frac{d}{2}$

$\begin{align}V&=\pi L\Bigg[\left(\frac{D+d}{2}\right)^2+\frac{d^2}{6}+\frac{D^2}{12} \\ \ & -\frac{d(D+d)}{4\sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2-1}}\left(\frac{D}{d}\sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2-1}+\operatorname{argsinh} \sqrt{\left(\frac{D}{d}\right)^2-1}\right)\Bigg]\end{align}$

Tonneau à section elliptique

Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.

Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :

Dans le plan x0y :

$y=\frac{2(a-A)}{L^2}x^2+\frac A2$

Dans le plan x0z :

$z=\frac{2(b-B)}{L^2}x^2+\frac B2$

$V=2\int_0^\frac L2 \pi yz\mathrm dx$

$V=\frac{\pi L}{60}(3ab+2aB+2Ab+8AB)$

Si on a des ellipses comme génératrices

Dans le plan xOy on a l'ellipse $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$

Où $\alpha=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac aA)^2}}$ et $\beta=\frac A2$

Dans le plan xOz on a l'ellipse $\frac{x^2}{\gamma^2}+\frac{z^2}{\delta^2}=1$

Où $\gamma=\frac{L}{2\sqrt{1-(\frac bB)^2}}$ et $\delta=\frac B2$

$V=2\int_0^\frac L2 \pi yz\mathrm dx$

$V=\frac{\pi}{2L^2} \int_0^\frac{L}{2}\sqrt{(L^2A^2-4(A^2-a^2)x^2)(L^2B^2-4(B^2-b^2)x^2)}\mathrm dx$

Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide

La génératrice est la parabole d'équation : $y=\frac{2(d-D)}{L^2}x^2+\frac{D}{2}$

• Pour un tonneau couché

Soit h la hauteur de liquide

Soit x₁ et x₂ les bornes maximales selon les valeurs de h

$x_1=\sqrt{\frac{h L^2}{2(D-d)}}$ et $x_2=\sqrt{\frac{(D-d)L^2}{2(D-d)}}$

$V=\int S \mathrm dx$

Où S représente le segment circulaire, de rayon y, de flèche $y - \frac D2 + h$.

$S=y^2\left(\arccos \frac{D-2h}{2y} -\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1-\left(\frac{D-2h}{2y}\right)^2}\right)$

Si $h\le\frac{D-d}{2}$, alors

$V=\int_0^{x_1} 2S \mathrm dx$

Si $\frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}$, alors

$V=\int_0^\frac L2 2S \mathrm dx$

Si $h\ge\frac{D+d}{2}$, alors

$V=\int_0^{x_2} 2S\mathrm dx + \int_{x_2}^\frac{L}{2} 2\pi y^2\mathrm dx$

• Pour un tonneau debout

$V=\int_{\frac L2 -h}^\frac L2 \pi y^2 \mathrm dx$

$\begin{align}V&=\pi\Biggl[\frac{4(d-D)^2}{5L^4}\left(\left(\frac L2\right)^5-\left(\frac L2-h\right)^5\right) \\ \ & +\frac{2D(d-D)}{3L^2}\left(\left (\frac L2\right)^3-\left(\frac L2-h\right)^3\right)+h\left(\frac D2\right)^2 \Biggr ] \end{align}$

Surfaces

On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit S₁ cette surface

$S_1=2\int_0^\frac{L}{2} 2\pi y\mathrm ds$

où ds est la différentielle de l'abscisse curviligne.

$\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2}\mathrm dx$

$S_1=4\pi\int_0^\frac L2(ax^2+b)\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx$

L'intégration se fait par le changement de variable : 2ax = sinh t

On arrive à :

$\begin{align} S_1& =\frac{\pi L} {4}\Biggl[\sqrt{\frac{4(d-D)^2}{L^2}+1}\left ( d+D +\frac{L^2}{8(d-D)}\right) \\ \ & +\frac{L}{d-D}\left(D-\frac{L^2}{16(d-D)}\right)\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)}{L}\Biggr]\end{align}$

Puis on ajoute les deux fonds : $S_2=\frac{\pi d^2}{2}$

S = S₁ + S₂

Surfaces partielles

Surface du tonneau en contact avec le liquide

• Tonneau couché

Si $h\le\frac{D-d}{2}$, alors

$S=\int_0^{x_1} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx$

Si $\frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}$, alors

$\begin{align} S&=\int_0^\frac{L}{2} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4a^2x^2} \mathrm dx \\ \ & +\frac 12\left(d^2(\arccos \frac{D-2h}{d}-(D-2h)\sqrt{d^2-(D-2h)^2})\right) \end{align}$

Si $h\ge\frac{D+d}{2}$, alors

$\begin{align}S&=\int_0^{x_2} 4y \arccos\frac{D-2h}{2y}\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx \\ \ & + \int_{x_2}^\frac{L}{2} 4\pi \left(ax^2+\frac D2\right)\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx +\frac{\pi d^2}{2}\end{align}$

• Tonneau debout

0 < h < L et en tenant compte d'un fond :

$S=2\pi\int_{\frac L2-h}^\frac L2\left(ax^2+\frac D2\right)\sqrt{1+4a^2x^2}\mathrm dx +\pi \frac{d^2}{4}$

Si h = 0 alors S = 0. Et si h = L le tonneau est plein. Voir supra.

$\begin{align} S&=\frac{\pi L}{8} \Biggl[ \sqrt{\frac{4(d-D)^2} {L^2} + 1 } \left( d+D + \frac{L^2}{8(d-D)}\right) \\ \ & - \frac{L-2h}{L}\sqrt{\frac {4(d-D)^2(L-2h)^2}{L^4}+1} \left(\frac{(d-D)(L-2h)^2}{L^2}+\frac{L^2}{8(d-D)} +2D\right) \\ \ & + \frac{L}{d-D}\left(D-\frac{L^2}{16(d-D)}\right)\left(\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)}{L^2}-\operatorname{argsinh}\frac{2(d-D)(L-2h)}{L^2}\right)\Bigg] \\ \ & +\frac{\pi d^2}{4}\end{align}$

Surface de liquide en contact avec l'air

• Tonneau couché

La génératrice est la parabole.

La corde c au point d'abscisse x s'exprime par :

$c=\sqrt{4y^2-(D-2h)^2}$

Si $h\le\frac{D-d}{2}$,

$S=\int_0^{x_1} 2c \mathrm dx$

Si $\frac{D-d}{2}\le h \le \frac{D+d}{2}$, alors

$S=\int_0^\frac L2 2c \mathrm dx$

Si $h\ge\frac{D+d}{2}$, alors

$S=\int_0^{x_2} 2c\mathrm dx$

• Tonneau debout

La génératrice est la parabole

0 < h < L

$S=\pi y^2=\pi\left( \frac{2(d-D)}{L^2}\left(\frac L2-h\right)^2+\frac D2\right)^2$

Si h = 0 le tonneau est vide, et si h = L le tonneau est plein.

Voir aussi

Bibliographie

• Grand dictionnaire universel du XIX^e siècle par Pierre Larousse, à l'article Tonneau.

Liens internes

Liens externes

• Site perso de Michel Berteau - Volume du tonneau
• Règles à calcul

Notes et références

1. ↑ Manuel pratique et élémentaire des poids et mesures, et du calcul décimal, par S.A. Tarbé, Paris, 1809, p. 409
2. ↑ Mémoire sur la théorie du jaugeage par M. Dez, professeur royal de mathématiques à l'École royale militaire, in Mémoires de mathématique et de physique, Paris 1773, p. 383