Torsade

En mathématiques, la torsade est une caractéristique d'un ruban à deux faces fermé de l'espace $\mathbf{R}^3$. Comme son nom l'indique, ce nombre décrit comment le ruban est torsadé, c'est-à-dire le nombre de tours faits par le ruban.

Formule générale

Pour calculer la torsade d'un ruban, il suffit d'observer un bord du ruban (A) en se déplaçant le long de l'autre bord (B). Lors d'un déplacement de longueur ds le long de B, on observe que le point de A le plus proche de déplace d'un angle dθ. Le déplacement le long de B doit se faire sans rotation autour de B, ce qui correspond à un transport parallèle. La torsion du ruban est alors ω(s) = dθ / ds. La définition de la torsade est donnée par la formule

$\mathrm{Tor}=\frac{1}{2\pi}\int_0^L \omega(s)\mathrm{d}s \qquad(1)$

On compte la torsade en nombre de tours, d'où le dénominateur 2π.

La torsade n'est pas nécessairement un nombre entier car après un tour de ruban parcouru par transport parallèle, on ne revient pas nécessairement avec la même orientation. La différence entre le nombre de tours perçus par un observateur intrinsèque faisant un transport parallèle et un observateur extérieur qui compte les croisements des deux bords du ruban s'appelle l'entortillement.

Cas d'un ruban dont un bord est dans un plan

Si on a un ruban dont un bord est contenu dans un plan la torsion décrit alors de façon univoque la position de l'autre bord par rapport à ce plan. Dans ce cas, la torsade est un nombre entier car après un tour on doit revenir au point de départ. Si l'on a un ruban presque plat, le résultat sera un nombre proche d'un entier.

Autre formule pour la torsade

Donnons une orientation au ruban. Cela correspond à prendre un sens de parcours pour chaque bord, les bords vont dans le même sens. Choisissons une direction de l'espace $\hat{u}$ (c'est-à-dire que $\hat{u}$ est un vecteur de norme unité) et projetons le ruban sur un plan orthogonalement à cette direction. Notons par des flèches le sens de parcours des projections des bords. Comptons alors les croisements entre les projections des bords (les bords doivent être différents) de la façon suivante :

+ 1		− 1

On appelle la somme de ces nombres $\pm 1 \mathrm{cr}(\hat{u})$. La valeur de $\mathrm{cr}(\hat{u})$ est indépendante de l'orientation choisie pour le ruban. C'est le résultat qu'on obtient en calculant la formule (1) lorsque la courbe est aplatie. Si l'on fait maintenant la moyenne sur toutes les directions de projection $\hat{u}$ possibles, on obtient une deuxième formulation de la torsade ^[1]

$\mathrm{Tor}=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb S^2}\mathrm{cr}(\hat u)\,\mathrm d\hat u\qquad(2)$

L'entortillement d'un ruban, ajouté à sa torsade, est un nombre entier appelé enlacement ce résultat est appelé théorème de White.

Références

1. ↑ Dennis and Hannay, Proc R. Soc. A 261 3245-3254 (2005)