Tractrice

Tractrice pour x et y positifs, T parcourt [Ox)

Tractrice pour x et y positifs, T parcourt [Ox)

En mathématique, une tractrice est une courbe plane parcourue par un point M lié à un point T par les conditions suivantes :

• le point T parcourt une droite
• la distance MT est fixe
• la droite (MT) est tangente à la tractrice

L'histoire de la tractrice remonte au XVII^esiècle. Claude Perrault rencontrant Leibniz vers les années 1670 lui aurait parlé d'un problème qu'il aurait posé déjà à de nombreux mathématiciens sans en obtenir de réponse satisfaisante. Posant sa montre à gousset sur la table, il la tire par la chaînette en suivant avec l'extrémité de la chaînette une trajectoire rectiligne et demande quelle est la trajectoire suivie par la montre. Nous sommes alors au tout début du calcul infinitésimal et des équations différentielles. Leibniz propose une mise en équation mais la résolution proprement dite demande l'outil des fonctions logarithmes ou des fonctions hyperboliques. De nombreux autres mathématiciens s'intéressent alors à cette courbe et proposent même des instruments permettant la construction mécanique d'une tractrice. On peut imaginer une construction de la tractrice à l'aide d'une adaptation de la méthode d'Euler.

Propriétés

• La tractrice est une développante de la chaînette.
• Elle admet l'axe des abscisses comme asymptote.
• On l'appelle parfois courbe aux tangentes égales pour exprimer que la longueur des segments de tangentes limités à la courbe et à l'asymtote est constante.

Construction graphique

Pour construire une approximation d'une tractice entre les points M₁ et M₂ associés aux points T₁ et T₂, on divise le segment [T₁T₂] en n intervalles [t_it_i+1] qui permettent de construire n+1 points m₀, ..., m_n de la tractrice (m₀ = M₁ et m_n = M₂) de proche en proche. Si r est la distance M₁T₁, on trace le segment [m_it_i+1] et on place le point m_i+1 sur ce segment et à une distance r de t_i+1.

Résolution mathématique

Tractrice, position de M et T

En considérant la tractrice comme une courbe paramétrée, autrement dit si (x(t), y(t)) sont les coordonnées cartésiennes de M dans un repère orthonormé, cherchons deux fonctions x et y vérifiant x(0) = 0, y(0) = a et vérifiant les conditions requises.

Dans le dessin ci-contre, elles se traduisent par

• y² + h² = a² pour MT = a
• (h ; -y) est proportionnel à (x' ; y') car (MT) est tangente à la courbe.

Le problème revient donc à résoudre la relation différentielle :

$y^2 + \left(\frac{x'y}{y'}\right)^2 = a^2$

dans laquelle il s'agit de choisir judicieusement les fonctions paramétrées.

y en fonction de x

En prenant x comme paramètre, on obtient l'équation

$y'^2 = \frac{y^2}{a^2-y^2}$

Soit encore

$y' = \pm\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}$

C'est une équation différentielle autonome. Cela était prévisible puisque la propriété géométrique étudiée est invariante par translation parallèle à l'axe des x : si le graphe $x\mapsto y(x)$ a la propriété requise, il doit en être de même du graphe de $x\mapsto y(x-x_0)$, quel que soit le réel x₀.

Pour une telle équation, sur tout intervalle où $y^\prime$ ne s'annule pas, on peut expliciter les fonctions réciproques des solutions au moyen d'intégrales. Ici, pour les conditions initiales requises,

$x=\int_a^y\pm\frac{\sqrt{a^2-u^2}}{u}du$

Cette intégrale peut se calculer par exemple avec le changement de variable u = acos t. Cela revient à employer la méthode du paragraphe suivant.

Avec des fonctions trigonométriques

Si on se limite aux conditions x et y positifs ou nuls, avec comme conditions initiales x ₀ = 0 et y ₀ = a on peut poser

$y = a \cos(t)\,$ avec $t \in [0; \pi/2[$ (la géométrie du problème imposant la condition

$0\le y\le a$.

L'équation devient (

$a^2\cos^2(t) + x'^2(t)\frac{cos^2(t)}{1-cos^2(t)}= a^2$

cette équation devient, après avoir isolé x'

$x'(t) = a\frac{1-\cos^2(t)}{\cos(t)}$

$x'(t) = a\left(\frac{1}{\cos(t)}- \cos(t)\right)$

En posant u(t) = sin(t), on obtient

$x'(t) = a\left(\frac{u'(t)}{1 - u^2(t)}- u'(t)\right)$

Qui s'intègre en

$x(t) = a\left((\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+u(t)}{1 - u(t)}\right) - u(t)\right)$

Donc

$x(t) = a\left(\ln\left(\frac{1+\sin(t)}{\cos(t)}\right) - \sin(t)\right)$

Puis, en remplaçant acos(t) par y

$x = a\ln\left(\frac{a + \sqrt{a^2-y^2}}{y}\right) - \sqrt{a^2-y^2}$

Avec des fonctions hyperboliques

Si on se limite aux conditions x et y positifs ou nuls, avec comme conditions initiales x ₀ = 0 et y ₀ = a on peut poser

$y = \frac{a}{cosh(t)}$

L'équation devient alors

$\frac{a^2}{\cosh^2(t)} + x'^2(t)\frac{\cosh^2(t)}{\sinh^2(t)}=a^2$

et après avoir isolé x'

$x'(t) = a\frac{\sinh^2(t)}{\cosh^2(t)}= a\left(1-\frac{1}{\cosh^2(t)}\right)$

qui s'intègre en

$x(t) = a(t - \tanh(t))\,$

Quelques remarques

• La relation entre ces deux point de vue

est donnée par la fonction de Gudermann.

• la surface de révolution obtenue en faisant tourner la tractrice autour de son asympote

est la pseudo-sphère de Beltrami. Cette surface qui est localement isométrique au Demi-plan de Poincaré, fut le premier modèle explicite de la géométrie de Lobatchevski.

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• « Tractrice », sur Wikimedia Commons (ressources multimédia)

• Tractoire
• Histoire de la tractrice
• Tractrice sur le site de Serge Mehl