Train epicycloidal

Train épicycloïdal

Réducteur à train épicycloïdal dont on a retiré le porte-satellites

Le train épicycloïdal est un dispositif de transmission mécanique. Il a la particularité d'avoir deux degrés de mobilité, comme le différentiel, c’est-à-dire qu'il associe par deux relations mathématiques, trois arbres ayant des vitesses de rotation différentes .

Ces trains sont souvent utilisés pour la réduction de vitesse du fait des grands rapports de réduction que cette configuration autorise (à compacité égale avec un engrenage simple). On trouve de tels réducteurs en particulier dans les boîtes de vitesses automatiques, les motoréducteur électriques, les winchs et boite powershift

Généralement constitué d'engrenages (il peut s'agir aussi de système à friction), on y retrouve les éléments suivants:

• deux arbres coaxiaux dits planétaires,
• des satellites engrenant avec les 2 planétaires, et tournant autour de leur axe commun
• le porte satellites.
• le bâti

Trajectoire en Hypocycloïde d'une dent d'un satellite

Le terme épicycloïdal vient de la trajectoire suivant une épicycloïde d'un point des satellites observé par rapport au planétaire intérieur. On observe cependant une hypocycloïde si la référence du mouvement est la planétaire extérieur, qui est souvent fixe dans les réducteurs. Cela correspond donc exactement à ce que voit l'observateur qui regarde évoluer un satellite.

Train épicycloïdal

Les différentes configurations

Trains parallèles.

Dans le cas des trains parallèles, les deux planétaires engrénant avec les satellites peuvent être situés autour (cas des planétaires extérieurs), ou au centre (cas des planétaires intérieurs). Il en résulte 4 configurations:

satellite à simple denture, un planétaire intérieur et un extérieur.

satellite à double denture un planétaire intérieur et un extérieur.

satellite à double denture et 2 planétaires intérieurs.

satellite à double denture et 2 planétaires extérieurs.

Dans tous les cas, les planétaires et le porte satellites ont un axe de rotation commmun.

Trains sphériques.

Schéma d'un différentiel: le porte satellite (en bleu) constitue l'entrée du dispositif, et les deux planétaires (rouge et jaune) les sorties dont la vitesse de rotation peut être différente.

C'est la configuration adoptée dans le différentiel automobile. L'axe de rotation des satellites (souvent par deux) est perpendiculaire à celui des planétaires. De ce fait, les engrenages sont coniques.

Si le satellite est immobile par rapport au porte satellite, les deux planétaires ont la même vitesse de rotation. Lorsque les planétaires se décalent en vitesse, le satellite tourne tout en transmettant la puissance.

Les problèmes technologiques.

développement à compléter (proposition)

• hyperstatisme (implication sur les liaisons, nb de satellites)
• nombres de dents admissibles (critère géométrique, pb montage en particulier avec satellites à denture multiple )
• difficulté de coloriage sur les shémas technologiques
• je suis realiste

Les applications

• machine à calculer de Blaise Pascal: la pascaline.
• la transmission électro-mécanique de la Toyota Prius et plus généralement des hybrides Toyota et Lexus.
• la plupart des boîtes de vitesses automatiques d'automobiles, et certaines boîtes mécaniques (Ford modèle T par exemple).
• Les différentiels de voitures.
• Les multiplicateurs de fréquence de rotation des éoliennes.

Réducteurs épicycloïdaux

C'est pour cette application qu'on utilise principalement les trains épicycloïdaux. Ils sont présents dans les boîtes de vitesse automatiques, et dans de nombreux réducteurs accouplés aux moteurs électriques. Ils figurent d'ailleurs dans les mêmes catalogues que ces derniers. Leur géométrie donne un arbre de sortie coaxial à l'arbre d'entrée, ce qui en facilite la mise en oeuvre. Ils ont enfin une grande aptitude à la réduction de vitesse. En général on dispose trois satellites sur le porte satellite. Ainsi, les efforts dans les engrenages ne sont pas repris par les paliers. De ce fait ces réducteurs sont très adaptés à la transmission de couples importants.

Ces mêmes dispositifs sont parfois utilisés en multiplicateur, comme par exemple sur les éoliennes. Là encore, c'est leur compacité et l'absence d'effort radial induit dans les paliers des arbres d'entrée et de sortie qui en justifie l'emploi.

Principe et architecture

Schéma de principe d'un étage de réducteur épicycloïdal

A partir du train le plus simple (type I), on élimine une mobilité en fixant le planétaire extérieur, qu'on appelle aussi couronne.

L'arbre d'entrée, en tournant force le satellite à rouler à l'intérieur de la couronne. Dans son mouvement, celui ci entraîne le porte satellite comme s'il s'agissait d'une manivelle. Le porte-satellites constitue l'arbre de sortie du dispositif. Dans cette configuration la sortie tourne dans le même sens et moins vite que l'entrée.

Rapport de transmission

Epure pour la détermination du rapport de transmission. Repères de pièces: 1:bâti (couronne extérieure fixe) ; 2:arbre d'entrée 3:satellite 4:porte-satellites(arbre de sortie)

Pour un dispositif de transmission de puissance, en particulier les réducteurs, le rapport de transmission constitue la caractéristique principale. Il s'agit du rapport de la vitesse (ou fréquence) de rotation de l'arbre de sortie, sur celle de l'arbre d'entrée. Inférieur à 1 dans les cas d'une réduction, on le remplace souvent par son inverse, le rapport de réduction.

$R = \frac{N_{sortie}}{N_{entree}}= \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entree}}= \frac{1}{d}$

• où R = rapport de transmission
• et d = taux de réduction (souvent indiqué dans les catalogues de constructeurs sous la forme 1:d)
• ω en rad/s

Dans le cas présent, le rapport de transmission est donc:

$R = \frac{N_{4/1}}{N_{2/1}}= \frac{\omega_{4/1}}{\omega_{2/1}}$

La considération des conditions de non glissement dans les engrenages :

• rotation sans glissement en I entre 2 et 3: V(I_{2 / 3}) = 0
• rotation sans glissement en J entre 1 et 3: V(J_{1 / 3}) = 0

et des propriétés de la liaison pivot entre le satellite et son support donne de plus les relations:

• non glissement en I entre 2 et 3: V(I_{2 / 1}) = V(I_{3 / 1})
• non glissement en J entre 1 et 3: V(J_{3 / 1}) = V(J_{1 / 1}) = 0 Donc J est centre de rotation de 3 par rapport à 1.
• pivot de centre A entre 3 et 4: V(A_{3 / 1}) = V(A_{4 / 1})

Tous les éléments étant animés d'un mouvement de rotation (permanente ou instantanée) par rapport à 1, on peut écrire les lois de répartition des vitesses, ou champs des vitesses, avec la formule de composition des vitesses. En particulier:

• rotation de 2 autour de O: $V(I_{2/1})\ =\ OI\ .\ \omega_{2/1}$
• rotation de 4 autour de O: $V(A_{4/1})\ =\ OA\ .\ \omega_{4/1}$
• rotation de 3 autour de J: $V(I_{3/1})\ =\ JI\ .\ \omega_{3/1} = 2 V(A_{3/1})$

$V(A_{4/1}) = V(A_{3/1}) =\frac{1}{2} V(I_{3/1}) = \frac{1}{2} V(I_{2/1})$

soit $\ OA\ .\ \omega_{4/1} = \frac{1}{2}\ OI\ .\ \omega_{2/1}$

On peut donc extraire l'expression du rapport: $R=\frac{\omega_{4/1}}{\omega_{2/1}}= \frac{OI}{2OA}$

Dans un engrenage standard, les diamètres sont proportionnels aux nombres de dents (Z) des pignons. En posant la relation de Chasles OA = OI + IA, avec OI le rayon primitif du planétaire d'entrée, et IA le rayon primitif du satellite, l'expression du rapport de transmission devient:

$R=\frac{\omega_{4/1}}{\omega_{2/1}}= \frac{Z_{2}}{2(Z_{2}+Z_{3})}= \frac{Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}}$

Par exemple un planétaire de 11 dents attaquant un satellite de 22 dents, donc deux fois plus gros, constitue un réducteur avec un rapport de réduction de 6. Cela est possible avec un engrenage classique que si la roue réceptrice est 6 fois plus grosse que le pignon d'attaque. À titre de comparaison, si on prend un engrenage classique avec le même pignon d'attaque (à 11 dents) l'encombrement radial de ce réducteur est de 77 dents (11+66) alors que le train épicycloïdal n'occupe que 55 dents (11+2×22), sans compter les problèmes de guidage liés aux efforts induits.

note: l'encombrement réel est obtenu en multipliant le nombre de dents par le module de denture adopté.

Le résultat précédent peut-être retrouvé à l'aide de la Formule de Willis:

$R=\frac{\omega_{pe/ba}-\omega_{ps/ba}}{\omega_{pi/ba}-\omega_{ps/ba}}= (-1)^p \frac{\prod_{i} Z_{i}}{\prod_{j} Z_{j}}$

Avec:

Ba: Bâti. Pe: Planétaire Extérieur. Pi: Planétaire intérieur. Ps: Porte-satellite. p: Nombre de contacts extérieurs dans les engrenages. Z_i: Nombre de dents des roues menantes. Z_j: Nombre de dents des roues qui sont menées.

Étages de réduction

3 étages d'un réducteur épicycloïdal

Ces réducteurs sont souvent constitués de plusieurs trains épicycloïdaux mis en cascade. L'arbre de sortie d'un réducteur devient l'arbre d'entrée du suivant. Le rapport global étant alors le produit des rapports intermédiaires, on obtient dès 3 étages, des réductions dans un rapport supérieur à 100, et atteignant facilement 1000 dès le quatrième étage. Par exemple, avec 4 étages au rapport 1/6^e, on obtient une réduction de 1296.

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