Transformation de Fortescue

Tout système de grandeurs triphasées déséquilibré peut se mettre sous la forme de la somme de trois systèmes équilibrés (ou symétriques) :

• un système équilibré direct noté G_d ;
• un système équilibré inverse noté G_i ;
• un système de tension homopolaire noté G_o (en réalité une grandeur monophasée que l'on divise en 3 pour le calcul matriciel).

Systèmes triphasés homopolaires

Comme expliqué précédemment, ce n'est pas vraiment un système triphasé car cela correspond à un système de 3 tensions en phase :

g_o = G_osin(ωt + φ_o)

g_o = G_osin(ωt + φ_o)

g_o = G_osin(ωt + φ_o)

L'intérêt de ce « faux système triphasé » est de faciliter l'écriture matricielle de la transformation de Fortescue.

Matrice de transformation

Le but est de trouver les valeurs de G_d, G_i et G_o à partir de G₁, G₂ et G₃.

Calcul de G_o

Comme la somme des trois grandeurs d'un système équilibré est nulle, on a forcément :

3G_osin(ωt + φ_o) = G₁sin(ωt + φ₁) + G₂sin(ωt + φ₂) + G₃sin(ωt + φ₃)

Opérateur de rotation : a

Remarque : Une grandeur soulignée représente le nombre complexe associé à la grandeur sinusoïdale considérée.

C'est un nombre complexe de module 1 et d'argument $\tfrac23\pi$ : $\underline a = e^{j\frac23\pi}$

Le résultat de sa multiplication par le nombre complexe associé à une grandeur correspond à une autre grandeur de même amplitude et déphasée de $\tfrac23\pi$ par rapport à la grandeur initiale. Il correspond à une rotation de $\tfrac23\pi$ dans le plan de Fresnel.

Il vérifie les propriétés suivantes :

• $\underline a^3 = 1$
• $1 + \underline a+ \underline a^2 = 0$

Matrice de Fortescue inverse

$\begin{bmatrix} \underline G_o\\ \underline G_d\\ \underline G_i \end{bmatrix} = \frac13 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \underline a & \underline a^2 \\ 1 & \underline a^2 & \underline a \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline G_1\\ \underline G_2\\ \underline G_3 \end{bmatrix}$

Voir aussi

Liens internes

• Transformation des systèmes triphasés
• Homopolaire

Liens externes

• Transformation des systèmes triphasés Fortescue, Clarke, Park et Ku