Transformation de Fourier

Transformée de Fourier

Joseph Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

La transformée de Fourier $\mathcal{F}$ est une opération qui transforme une fonction intégrable sur $\R$ en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si $f\$ est une fonction intégrable sur $\R$, sa transformée de Fourier est la fonction $\mathcal{F}(f)=\hat f$ donnée par la formule :

$\mathcal{F}(f):\xi\mapsto \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-i \xi x}\, dx$

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformée de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains électroniciens utilisent ainsi :

$\mathcal{F}(f):\nu \mapsto \hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i 2\pi\nu t}\, dt$

avec t en secondes ν la fréquence (en s ^{− 1}).

Certains physiciens utilisent pour des raisons de symétrie avec la transformée de Fourier inverse :

$\mathcal{F}(f):\omega\mapsto \hat{f}(\omega) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i \omega t}\, dt$

avec t en secondes et ω la pulsation (en rad.s ^{− 1}). Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur ${1 / \sqrt{2\pi}}$, $\mathcal{F}(f*g) \ne \mathcal{F}(f) .\mathcal{F}(g)$, à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables $f\$ d'une variable réelle $x\$. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle $\xi\$. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et $\omega\$ ou $2\pi \nu\$ à la place de $\xi\$ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que $f\$ est dans le domaine temporel, et que $\hat f$ est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformée directe avec un facteur $1/{2\pi}\$ et la transformée de Fourier inverse sans aucun préfacteur.

Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformée de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

La notation $\mathcal{F}\{f\}$ peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter $f(\mathbf{x})$ pour la fonction de départ et $f(\mathbf{p})$ pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et moment. Cette notation n'est pas retenue ici.

On peut généraliser la définition de la transformée de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif $\R$. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif $\R/\Z$, c'est à dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier — sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux.

Propriétés de la transformée de Fourier

	Fonction	Transformée de Fourier
Linéarité	$a.g_1(x) + b.g_2(x)\$	$a.\hat g_1(\xi) + b.\hat g_2(\xi)\$
Contraction du domaine	$f(a.x) \$	$\frac{1}{|a|}.\hat{f}(\xi/a)\$
Translation temporelle	$g(x+x_0)\$	$\hat g(\xi).e^{\mathrm{i} \xi x_0}\$
Modulation dans le domaine temporel	$g(x).e^{\mathrm{i} x \xi_0}$	$\hat{g}(\xi-\xi_0)$
Produit de convolution	$f(x) \star g(x)\$	$\hat f(\xi) .\hat g(\xi)\$
Dérivation	$g'(x)\$ (voir conditions ci-dessous)	$i \xi .\hat{g}(\xi)$
Symétrie	réelle et paire	réelle et paire
	réelle et impaire	imaginaire pure et impaire
	imaginaire pure et paire	imaginaire pure et paire
	imaginaire pure et impaire	réelle et impaire
	gaussienne	gaussienne

• La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un gramophone. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
  
• Si la fonction f est à support bornée ( i.e, si $\exists x_0 \in \R, \forall |x| > x_0, f(x) = 0$ ) alors $\hat{f}$ est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction $\hat{f}$ est borné alors f est à support infini.
• Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors $\hat{f}$ est une fonction non-nulle sur $\C$ et inversement, si $\hat{f}$ est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur $\C$.
• La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par

$\|\hat{f}\|_\infty\leq \|f\|_1$

• Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.
• Supposons que la fonction $g:x\mapsto -\mathrm{i}xf(x)$ soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée $\hat{f}'$ est la transformée de Fourier de g.
• Si f est dérivable, de limite nulle à l'infini et si la dérivée de f est intégrable, alors $\widehat{f'}(\xi)=\mathrm{i}\xi \hat{f}(\xi)$ est la transformée de Fourier de la dérivée de f .

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

$Df=\frac{1}{\mathrm{i}} f',$

et M la multiplication par l'argument:

$(Mf)(x)=xf(x), \quad (M\hat f)(\xi)=\xi \hat f(\xi)$.

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, $\widehat{Df}=M\hat f$ et $\widehat{Mf}=D\hat f$. Ces formules symétriques sont très belles, et aussi très importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformée de Fourier inverse

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée $\mathcal{F}^{-1}$, est celle qui permet (sous conditions appropriées) de retrouver f à partir des données fréquentielles :

$f(x) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\xi)\, e^{+i\xi x}\, d\xi$ pour $\hat f(\xi)\ = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-i \xi x}\, dx$

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le − i devenu i.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformée de Fourier inverse devient:

Définition en fréquence: $f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)\, e^{+i 2\pi\nu t}\, d\nu$ pour $\hat{f}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i 2\pi\nu t}\, dt$

Définition en pulsation: $f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\omega)\, e^{+i \omega t}\, d\omega$ pour $\hat f(\omega)\ = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-i \omega t}\, dt$

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

Soit h une fonction complexe définie sur $\R$ et deux fois continûment différentiable. On suppose que h vérifie l'estimation

$|h(x)|\le\frac{C}{1+x^2},$

et que les deux premières dérivées de h sont intégrables sur $\R$. Alors la transformée de Fourier de h vérifie une estimation analogue

$|\hat h(\xi)|\le\frac{C}{1+\xi^2}.$

Soit y un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons

$f(x)=h(x)e^{-\mathrm{i} yx}\$.

On vérifie que f a les mêmes propriétés fonctionnelles que h. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à f, avec la période 2π:

$\sum_{n\in \Z} f(x+2\pi n)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z}\hat f(k)e^{\mathrm{i}k x}.$

Mais le calcul de $\hat f(k)$ donne

$\hat f(k)=\int_\R h(x)e^{-\mathrm{i}(y+k)x}\, dx=\hat h(y+k).$

On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de h, et il vient

$\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n)e^{-\mathrm{i}(x+2\pi n)y}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k) e^{\mathrm{i}kx}.$

On multiplie les deux membres de cette identité par e^ixy:

$\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n)e^{-2\mathrm{i}\pi ny}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k) e^{\mathrm{i}(k+y)x}.$

On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à y sur l'intervalle [0,1].

A gauche, l'intégration par rapport à y ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à n=0. A droite, on intègre par rapport à y et on effectue dans chaque intégrale le changement de variable y + k = ξ. On obtient ainsi la formule

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_\R \hat h(\xi) e^{\mathrm{i}x\xi}\, d\xi.$

On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche f par une suite de fonctions f_p vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les f_p et leurs transformées de Fourier $\hat f_p$ convergent vers leurs limites respectives f et $\hat f$ en norme $L^1(\R)$. On peut construire de telles approximations en tronquant f, c'est à dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle [ − p,p], et en le régularisant par convolution. Si φ est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose φ_p(x) = pφ(px) et on convole la fonction tronquée f1_{[ − p,p]} par φ_p. C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre p.

Preuve par l'analyse non standard

Soit f est une fonction de classe $C^{\infty}$ à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand T tel que pour tout réel | x | > T, f(x) = 0. Introduisons une base orthonormée totale de l'espace de Hilbert L²([ − T,T]) donnée par :

$e_n:x\mapsto e^{\mathrm{i}n\pi x/T}$

Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :

$f=\sum_{\mathbf Z}c_ne_n$ où $c_n=\frac{1}{2 T} \int_{-T}^Tf(x) e^{-\mathrm{i}n\pi x/T}dx=\frac{1}{2 T}\widehat{f}\left(\frac{n\pi}{T}\right)$

Plus explicitement, pour x standard :

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{\mathbf{Z}}\widehat{f}\left(\frac{n\pi}{T}\right)e^{\mathrm{i}n\pi x/T} \frac{\pi}{T}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \widehat{f}\left(w\right)e^{iwx}$

La dernière égalité vient de ce que que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite(π / T), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe $C^{\infty}$ à support compact et tout x standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions $C^{\infty}$ à support compact et tout x, puis par densité des fonctions $C^{\infty}$ à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout x.

Extension à l'espace $\R^n$

Notons $x\cdot \xi,$ le produit scalaire dans $\R^n$:

$x\cdot \xi=\sum_{j=1}^n x_j\xi_j.$

Si f est une fonction intégrable sur $\R^n$, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

$\hat f(\xi) = \int_{R^n} f(x)\, e^{-\mathrm{i} x\cdot \xi}\, dx$

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion:

$f(x) =\frac{1}{(2\pi)^n} \int_{R^n} \hat f(\xi)\, e^{\mathrm{i}x\cdot \xi}\, d\xi$.

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable sur $\R$.

On commence par un premier résultat.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur $\R$, qui vérifie l'estimation

$\forall x\in \R, \quad|h(x)|\le C/(1+x^2)$ (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier $\hat h$ est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité:

$\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R|\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier:

$\sum_{n\in Z}h(x+2\pi n)e^{-2\mathrm{i}\pi ny}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in \Z} \hat h(y+k) e^{\mathrm{i}(k+y)x}.$

On prend le carré du module des deux membres, et on intègre sur l'intervalle [0,1] par rapport à y et sur l'intervalle [0,2π]:

$\int_0^1 \int_0^{2\pi}\sum_{m,n\in \Z} h(x+2\pi n) \bar h(x+2\pi m)e^{2\mathrm{i}\pi(n-m)y}\, dx\,dy=\frac{1}{4\pi^2} \int_0^1\int_0^{2\pi}\sum_{j,k\in \Z} \hat h(y+j)\bar{\hat h}(y+k)e^{\mathrm{i}(j-k)x}\, dx\, dy.$

On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur h impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de x et y, périodiques de période 2π en x et de période 1 en y. L'intégration en y du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels m et n sont égaux, et l'intégration en x du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels j et k sont identiques. Il reste donc:

$\sum_{n\in \Z} \int_0^{2\pi} |h(x+2\pi n)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\sum_{k\in\Z}\int_0^1|\hat h(y+k)|^2\, dy.$

Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale x + 2πn = x' et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale <\math>y+k=\xi</math>, et on obtient la formule:

$\int_{\R}|h(x')|^2\, dx'=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

Après changement de la variable muette x' en x, on obtient la formule annoncée.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout $L^2(\R)$.

Extension de la transformation de Fourier par densité

On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc φ est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose φ_p(x) = pφ(px).

Soit h une fonction de carré intégrable, et soit p un nombre entier quelconque. On définit

h_p = (h1_{[ − p,p]}) * φ_p,

et on peut montrer le résultat suivant:

$\lim_{p\to\infty}\int_\R|h-h_p|^2|\, dx=0,$

La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.

D'autre part, les fonctions h_p ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier

$\int_\R|h_p-h_q|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h_p-\hat h_q|^2\, d\xi.$

Comme la suite $(h_p)_{p\ge 1}$ est de Cauchy dans l'espace $L^2(\R)$, la suite des transformées de Fourier $(\hat h_p)_{p\ge 1}$ est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, qu'on note $\hat h$, ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si g_p était une autre suite d'approximations convergeant vers h en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation

$\|g_p-h_p\|_{L^2}\le \|g_p-h\|_{L^2}+\|h-h_p\|_{L^2},$

qui tend vers 0 pour p tendant vers l'infini. Par conséquent $\|\hat g_p-\hat h_p\|_{L^2}$ tend aussi vers 0 et on conclut que la limite de la suite $\hat g_p$est bien $\hat h$.

On a ainsi le théorème de Plancherel:

Théorème de Plancherel —  Soit f une fonction complexe sur $\R$ et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit: pour tout p entier, on pose

$f_p(x)=(f 1_{[-p,p]})(x)=\begin{cases}f(x) &\text{si } |x|\le p,\\0&\text{sinon}.\end{cases}$

La suite des transformées de Fourier $\hat f_p$ converge dans $L^2(\R)$, et sa limite est la transformée de Fourier $\hat f$, c'est-à-dire

$\lim_{p\to\infty}\int_\R|\hat f(\xi)-\hat f_p(\xi)|^2\, d\xi=0.$

De plus on a l'identité:

$\int_\R|f(x)|^2\, dx =\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat f(\xi)|^2 d\xi.$

De façon similaire, si on pose $g_p(x)=\int_{-p}^p \hat h(\xi)e^{2\mathrm{i}\pi x\xi}\, d\xi,$ les g_p convergent en moyenne quadratique vers f

Démonstration du théorème de Plancherel

L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :

$\int_\R |h(x)|^2\, dx=\frac{1}{2\pi}\int_\R |\hat h(\xi)|^2\, d\xi.$

Considérons alors la suite de fonctions f_p = f1_{[ − p,p]}. En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des f_p converge en moyenne quadratique vers f, et par conséquent, on aura aussi

$\lim_{p\to\infty}\|\hat f-\hat f_p|_2=0;$

en d'autres termes, $\hat f_p$ converge en moyenne quadratique vers $\hat f$. La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L², qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle:

$\|f/\sqrt {2\pi}\|_2 = \|\hat{f}\sqrt {2\pi}\|_2.$

En physique, on interprète le terme $|\hat{f}(\xi)|^2$ figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection $L^1(\R)\cap L^2(\R)$ des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

Lien avec le produit de convolution

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. Ainsi :

• $\mathcal {F}(f*g) = \mathcal {F}(f)\,.\,\mathcal {F}(g)$
• Si $f,g \in L^1(\R)$, alors $f*g \in L^1(\R)$ et $\|f*g\|_{L^1} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^1}$
• Si $f \in L^1(\R)$ et $g \in L^2(\R)$, alors $f*g \in L^2(\R)$ et $\|f*g\|_{L^2} \le \|f\|_{L^1} \cdot \|g\|_{L^2}$

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace

La transformée de Fourier d'une fonction $f\$ est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : $\mathcal{L}_{bil}\{f\} (p) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-pt} dt$ avec $p \in \C$

On constate alors que $\mathcal{F}\{f\} (\xi) = \mathcal{L}_{bil}\{f\} (i\xi)$.

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace "usuelle" par :

$\mathcal{F}\{f\}(\xi) = \mathcal{L}\{f^+\}(+i\xi) + \mathcal{L}\{f^-\}(-i\xi)$

où les fonctions $f^+\$ et $f^-\$ sont définies par :

$f^+(t) = f(+t)\$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

$f^-(t) = f(-t)\$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

$\hat f(k)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)e^{-i2\pi kn\Delta t}$.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes :$F={f \over f_e}=f \Delta t = f|_{\Delta t=1}$, Ω = eπF = 2πfΔt = ωδt | _{Δt = 1}

Transformation de Fourier (analyse)	Transformation inverse (synthèse)
$X(f)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi fn\Delta t}$	$x(n)=\int_{f_e} X(f)e^{i2\pi fn\Delta t}df$
$X(w)=\Delta t \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i\omega n\Delta t}$	$x(n)={1 \over 2\pi} \int_{\omega_2=2\pi f_e}X(w)e^{iwn\Delta t}dw$
$X(F)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-i2\pi nF}$	$x(n)=\int_1 X(f)e^{i2\pi nF}dF\,\!$
$X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-in\Omega}$	$x(n)={1 \over 2\pi}\int_{2\pi} X(\Omega)e^{in\Omega}d\Omega$

Références

• Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Editions de l'École Polytechnique
• Srishti D. Chatterji Cours d'analyse, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 1998 (ISBN 978-2880743468 )

Voir aussi

• Densité spectrale
• Densité spectrale de puissance
• Produit de convolution
• Transformée de Fourier rapide
• Transformée de Fourier discrète
• Transformée de Laplace
• Bispectre

Lien externe

• Cours de licence traitant l'Analyse de Fourier (et aussi les espaces de Hilbert)

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