Transformee de Fourier-Mukai

Transformée de Fourier-Mukai

La transformée de Fourier-Mukai est un analogue en géométrie algébrique de la transformée de Fourier usuelle utilisée en analyse.

Définition

Soit X une variété abélienne et $\hat X$ sa variété abélienne duale. On note $\mathcal P$ le fibré de Poincaré sur $X \times \hat X$, normalisé de façon à être trivial sur les fibres $X \times 0$ et $0 \times \hat X$. Soient p et $\hat p$ les projections canoniques.

Le foncteur de Fourier-Mukai est défini par :

$R\mathcal S: \mathcal F \in D(X) \mapsto R\hat p_\ast (p^\ast \mathcal F \otimes \mathcal P) \in D(\hat X)$

On a un foncteur similaire en sens inverse $R\widehat{\mathcal S} : D(\hat X) \to D(X)$.

Propriétés

Soit g la dimension de X.

On a une proriété d'involutivité :

$R\mathcal S \circ R\widehat{\mathcal S} = (-1)^\ast [-g]$

La transformée de Fourier-Mukai échange (au degré près) le produit de Pontryagin et le produit tensoriel :

$R\mathcal S(\mathcal F \ast \mathcal G) = R\mathcal S(\mathcal F) \otimes R\mathcal S(\mathcal G)$

$R\mathcal S(\mathcal F \otimes \mathcal G) = R\mathcal S(\mathcal F) \ast R\mathcal S(\mathcal G)[g]$

Références

• Shigeru Mukai, Duality between D(X) and $D(\hat X)$ with its application to Picard sheaves, Nagoya Mathematical Journal 81, 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)

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