Transposition matricielle

Matrice transposée

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K})$ est la matrice notée ${}^t \! A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ (parfois aussi notée A^T, ${}^{tr} \! A$ ou A ^* ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

La première notation, avec le t avant le nom de la matrice, est la notation utilisée en France, celle où le t se situe après le nom de la matrice à transposer est une notation américaine. Il est donc préférable de savoir d'où proviennent les exercices !

Si $B = {}^t \! A$, alors $\forall {(i,j) \in [\![1;m]\!]\times[\![1;n]\!]}, b_{i,j} = a_{j,i}\,$.

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ alors ${}^t \! A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

Propriétés

• La transposée ${}^t:\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{K}) \to \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ est un isomorphisme ( application bijective )

Démonstration

^t est linéaire (revenir à la définition). De plus, ${}^t \! A=0 => A=0$, donc ^t est injective. Les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes (et ont la même dimension nm), donc c'est un isomorphisme.

• La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme des transposées de ces deux matrices : ${}^t(A + B) = {}^t\!A + {}^t\!B$
• La transposée du produit de deux matrices est égale au produit inversé des transposées de ces deux matrices : ${}^t(A \cdot B) = {}^t\!B \cdot {}^t\!A$
• La transposée de l'inverse d'une matrice carrée est égale à l'inverse de la transposée de cette même matrice : ${}^t(A^{-1}) = ({}^t\! A)^{-1}$
• Si A désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors $\forall {i \in [\![1;n]\!]}, b_{i,i} = a_{i,i}\,$.
  • Corollaire : Toute matrice diagonale est égale à sa transposée (réciproque fausse).
• Une matrice égale à sa transposée est appelée matrice symétrique.

Interprétation : dualité

Si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée ${}^t \! A$ représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases orthonormales, alors sa transposée ${}^t \! A$ représente la matrice de l'application adjointe.

Voir aussi

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