Transvection

Dessin d'origine

résultat de la transvection

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Transvection vectorielle

Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f − id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f − id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).

On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) − x appartient à H).

Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f − id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f − id)² = 0.

Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E :

$f(x)=x+h(x)u\,$

Les transvections sont bijectives (f ^{− 1}(x) = x − h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire de E : SL(E). L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H (à u de H, faire correspondre la transvection $x\mapsto x+h(x)u$).

Matrice de transvection

Dans une base de $E\,$ contenant une base de $H\,$ dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de $D\,$, la transvection a pour matrice une matrice du type $\begin{bmatrix} 1 & & & O \\ & 1 & &\lambda & \\ & & . & & \\ & O & & 1 & \\ & & & & 1 \end{bmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}$ avec $i\ne j$, la matrice E_ij étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position ( i, j ).

Ces matrices I_n + λE_ij sont appelées matrices de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire $SL_n(K)\,$.

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est $\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & . & & \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 \end{bmatrix}$

Transvection affine

Une transvection d'un espace affine $E\,$ est soit l'identité, soit une application affine de $E\,$ dans $E\,$ dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan $H\,$ de $E\,$ (base de la transvection) et telle que pour tout point $M\,$ le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ reste parallèle à $H\,$. Les vecteurs $\overrightarrow{MM'}$ forment alors une droite vectorielle $\overrightarrow{D}$ (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donné deux points $A\,$ et $A'\,$ tels que la droite $(AA')\,$ est parallèle à un hyperplan $H\,$, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base $H\,$ envoyant $A\,$ sur $A'\,$ ; on obtient facilement l'image $M'\,$ d'un point $M\,$ par la construction :

Transvection projective

Si l'on plonge l'espace affine $E\,$ dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini $H'\,$, on sait que l'on peut munir le complémentaire $E'\,$ de l'hyperplan $H\,$ d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de $H\,$ dans $E\,$ deviennent parallèles dans $E'\,$ et celles qui sont parallèles dans $E\,$ deviennent sécantes en un point de $H'\,$).

A toute transvection d'hyperplan $H\,$ de $E\,$ est alors associée une application affine de $E'\,$ qui n'est autre qu'une translation !

Les transvections sont donc en fait des translations en perspective... Si l'on regarde par avion une translation de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection :

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que $H\,$ et $H'\,$ à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Transvection euclidienne

Soit $f\,$ une transvection d'un espace euclidien, $\vec n$ un vecteur normal et normé de sa base et $D\,$ sa direction de vecteur directeur normé $\vec u$. Avec les notations ci-contre, on a $\overrightarrow {MM'}=\lambda \overline{HM} \vec u$ . Le nombre $\lambda\,$ est alors le coefficient de la transvection, et l'angle $\theta\,$, défini par $\tan \theta =\lambda\,$, son angle.

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

Plongeons l'espace euclidien $E_n\,$ de dimension n comme hyperplan d'un espace $E_{n+1}\,$ de dimension n+1 et faisons tourner $E_n\,$ autour de son hyperplan $H\,$, de façon à en obtenir une copie $\tilde E_n\,$.

Tout point $M\,$ de $E_n\,$ a une copie $\tilde M$ dans $\tilde E_n\,$, donc aussi l'image $M'\,$ de $M\,$ par une transvection de base $H\,$.

On montre que la droite $(M\tilde M')$ garde une direction fixe $D\,$, ce qui montre que $\tilde M'$ s'obtient par projection de $M\,$ dans $E_{n+1}\,$ (projection de base $\tilde E_n\,$ et de direction $D\,$).

Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.

Liens internes

• Transformation
• Homologie

Sources

• Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998