Treillis (assemblage)

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Un treillis, ou système triangulé, est un assemblage de barres verticales, horizontales et diagonales formant des triangles, de sorte que la déformabilité est réduite lorsqu'il est soumis à un effort.

Pont en treillis

Cette structure est devenue courante en construction à partir de la révolution industrielle, pour des ponts, avions… Cette préférence d'utilisation découle de l'efficacité de l'assemblage, et de la possibilité de préfabriquer les treillis, avant montage final sur le site de construction.

Lorsqu'un treillis est soumis à un effort, certaines parties de l'assemblage sont mises en compression et d'autres parties en tension. Par exemple, dans le cas d'un pont, les poutres supérieures sont comprimées, les poutres inférieures sont tendues, et les pièces en diagonale évitent le vrillage des poutres principales. Les axes des barres concourent en nœuds, qui sont des articulations parfaites. Les charges ne sont donc appliquées qu'aux seuls nœuds.

Calculs de résistance et de stabilité

Les calculs de treillis ou structures sont une application de la statique. Pour mener les calculs, on considère les hypothèses suivantes :

• le poids des barres est négligé ;
• les liaisons sont toutes des rotules (ou des pivots dans le cas d'un treillis plan), les barres peuvent librement tourner les unes par rapport aux autres ; en effet, même si les poutres sont fixes entre elles, si l'on applique un effort transversal à une extrémité d'une barre, le moment de la force à l'autre extrémité et la concentration de contrainte à l'angle feront que l'articulation bougera, ce qui mènera à la rupture ;
• les charges extérieures sont appliquées aux nœuds.

Ces hypothèses sont indispensables pour les calculs à la main. L'utilisation de logiciels permet de s'affranchir de ces hypothèses, notamment en prenant en compte la déformation des barres. La résistance de chacune des barres relève de la résistance des matériaux. Par contre, ces hypothèses restent la base des calculs de stabilité.

Calculs de stabilité

Exemples de treillis isostatiques sur deux appuis

La stabilité consiste à déterminer l'isostatisme : chaque poutre pouvant tourner, il faut « suffisamment de barres » pour qu'elles se bloquent entre elles. Si l'on a juste le nombre suffisant de barres, on est dans un cas isostatique : c'est le cas le plus économique et le plus léger, puisque l'on a le minimum de barres et de liaisons à réaliser, mais si une seule poutre cède, l'ensemble n'est plus stable. Les structures sont donc fréquemment hyperstatiques. Cependant, les calculs dans le cas hyperstatique sont plus compliqués, puisque les équations de la statique ne suffisent plus.

Lors de calculs manuels, il est souvent possible de transformer un treillis hyperstatique en un cas isostatique, en négligeant les barres comprimées (en admettant qu'elles flambent) sous un cas de charge donné. Dans les exemples qui suivent, nous ne considérerons que des problèmes isostatiques.

Calculs de charge

La première chose est de savoir comment chaque élément va être chargé : intensité de la force et sens (traction ou compression). Il s'agit d'un calcul de statique.

La méthode analytique de référence est la méthode des nœuds : on isole les nœuds un par un et l'on écrit le principe fondamental de la statique. C'est une méthode précise mais longue et fastidieuse pour les grandes structures. On peut déterminer les efforts dans trois poutres simultanément en utilisant la méthode de Ritter, ou méthode des sections, qui utilise le principe de la coupure.

Pour les grandes structures, avant le développement des logiciels de calcul, on utilisait des méthodes graphiques :

• méthode de Ritter associée à la méthode de Culmann^[1] ;
• épure de Cremona^[2].

Dimensionnement de la structure

Les charges déterminées par la statique permettent de choisir les poutres : profil (qui détermine le moment quadratique) et matériau (qui détermine le module de Young). Les différents éléments doivent vérifier :

• les conditions de résistance des matériaux (stabilité de résistance), ce que l'on appelle « vérification de l'état limite ultime » (ELU) ;
• les conditions de déformation et de déplacement (stabilité de forme), ce que l'on appelle « vérification de l'état limite en service » (ELS).

Notes et références

1. ↑ Karl Culmann
2. ↑ Luigi Cremona