Triangle orthique

Le triangle orthique d'un triangle a pour sommets les pieds de ses hauteurs.

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA'), (BB') et (CC'), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A'H), (B'H) et (C'H) du triangle orthique A'B'C'.

(C, B, C', B') ; (B, A, B', A') et (A, C, A', C') sont cocycliques. Les centres des cercles en question sont les milieux des côtés du triangle ABC (selon le théorème de Thalès pour le cercle).

On a les égalités d'angles inscrits : (A'B', A'A) = (BB', BA) = (CA, CC') = (A'A, A'C')

Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons joignant le centre du cercle circonscrit aux sommets du triangle ABC.

Dans un triangle dont les angles sont aigus, l'orthocentre est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique.

Soit (c₁) le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O et (t) la tangente en A. (c₂) est le cercle de diamètre [BC]. B' et C' sont situés sur ce cercle.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (B'C') est parallèle à (t). Donc (OA) est perpendiculaire à (B'C').

De même (OB) est perpendiculaire à (A'C') et (OC) est perpendiculaire à (A'B').

On peut dire aussi : «Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique».

Le triangle formé par les tangentes au cercle circonscrit est le triangle tangentiel, ses côtés sont donc parallèles à ceux du triangle orthique.

Le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard qui se ferme.

Problème de Fagnano

Trouver le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre :

Le triangle de périmètre minimal dont les sommets appartiennent aux côtés d'un triangle initial ABC acutangle est le triangle orthique.

Triangle médian du triangle orthique

Soit un triangle ABC non rectangle, soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C, on note A₁ et A₂ les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC), A₃ et A₄ les symétriques de A’ par rapport à A₁ et A₂.

La droite (A₃A₄) est parallèle à (A₁A₂), les points B’, C’, A₃ et A₄ sont alignés, la droite (A₁A₂) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique de ABC, (A₁A₂) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A₃A₄ est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’. Ce périmètre est égal à $\frac {8S^2} {abc}$ où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés de ABC.

Voir aussi

• Problème de Fagnano

Notes et références de l'article

• Démonstrations : Sortais Yvonne et René - La géométrie du triangle - Hermann 1997.

• Triangle orthique

• Éléments remarquables d'un triangle