Triplet pythagoricien

Un triplet pythagoricien vérifie toujours la relation de Pythagore : a² + b² = c².

Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls (x; y; z) vérifiant la relation de Pythagore : x² + y² = z².

Triplets primitifs

Un triplet pythagoricien est primitif si les trois naturels x, y et z sont premiers entre eux. Cette définition équivaut à l'affirmation : deux des naturels x, y et z sont premiers entre eux (puisqu'un diviseur premier commun de deux des nombres divisera le troisième).

On obtiendra tous les triplets pythagoriciens par multiplication des trois nombres par un naturel non nul.

Si on divise par z², on obtient :

$\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} = 1$

C’est-à-dire que les triplets pythagoriciens permettent de trouver les points à coordonnées rationnelles donnés par $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$ sur le cercle unité.

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5)	(20, 21, 29)	(11, 60, 61)	(13, 84, 85)
(5, 12, 13)	(12, 35, 37)	(16, 63, 65)	(36, 77, 85)
(8, 15, 17)	(9, 40, 41)	(33, 56, 65)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Lemme préliminaire

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair.

En effet :

• si x et y étaient tous deux pairs, ils ne seraient pas premiers entre eux, donc le triplet pythagoricien ne serait pas primitif ;
• si x et y étaient tous deux impairs, on aurait x = 2s + 1 et y = 2t + 1, d’où z² = x² + y² = 4s² + 4s + 1 + 4t² + 4t + 1 = 4m + 2 avec m = s² + s + t² + t, ce qui est impossible puisqu'un tel naturel 4m + 2 ne peut être un carré (un naturel pair qui est un carré ne peut être que le carré d'un nombre pair 2q et ce carré 4q² est multiple de 4).

Ayant établi que x et y sont de parités différentes, il en découle que x² et y² sont également de parités différentes, donc z² = x² + y² est impair, ce qui nécessite que z soit impair.

Comment en obtenir ?

Prenons x un entier naturel supérieur ou égal à 3, dont on cherche un triplet pythagoricien primitif (x, y, z) tel que x² + y² = z², avec x < y.

Voici comment en obtenir un :

1^er cas : x est impair.

y est alors égal à (x² - 1)/2 ;

et z est égal à (x² + 1)/2 ; c'est-à-dire y + 1.

2^e cas : x est pair (et divisible par 4,car sinon on aura x² = 4(8) et y²=1(8) d'où z²=5(8), ce qui est une contradiction.)

y vaut alors (x/2)² - 1 ;

et z vaut (x/2)² + 1 ; soit y + 2.

Théorème fondamental

Nuage de points de tous les couples d'entiers $\scriptstyle (a,b)$ tels que $\scriptstyle(a,b,\sqrt{a^2+b^2})$ soit pythagoricien avec a et b inférieurs à 4500

Il y a équivalence entre

• (i) $\quad (x,y,z)$ est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
• (ii) Il existe $(p,q) \in \mathbb N^{*2}$ avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que
  • $\quad x=p^2-q^2$
  • $\quad y=2pq$
  • $\quad z=p^2+q^2$

Démonstration

• (i) $\Rightarrow$ (ii)

y étant pair, posons y = 2u (u $\in \mathbb N^*)$. On a donc z² - x² = 4u², soit (z + x)(z - x ) = 4u².

Comme z + x et z - x sont pairs (x et z impairs), posons z + x = 2s et z - x = 2t (s et t$\in N^*)$. Il vient alors

x = s - t, z = s + t, st = u².

s et t sont premiers entre eux. En effet tout diviseur premier commun de s et t diviserait s + t = z, s - t = x et 2√st = y, ce qui est impossible (cf. remarque sur les triplets primitifs). Chaque diviseur premier de st = u² ne peut donc diviser à la fois s et t et, comme u² est un carré, l'exposant de ce diviseur premier est pair dans celui des 2 nombres s et t où ce diviseur premier figure. Il en résulte que s et t sont des carrés de naturels (non nuls) puisque chacun de leurs diviseurs premiers a un exposant pair. On peut donc poser s = p² et t = q².

On a donc bien x = p² - q² et z = p² + q². De plus st = u², soit p²q² = u² et donc u = pq d'où y = 2pq. Comme s et t sont premiers entre eux, il en est de même de p et q. Comme x > 0 on a p > q. Enfin p et q ne peuvent être de même parité puisque alors x = p² - q² serait pair.

• (ii) $\Rightarrow$ (i)

(ii) entraîne immédiatement par un simple calcul que x² + y² = z². D'autre part, comme p et q sont de parités différentes, x est nécessairement impair. Si x et z avaient un diviseur premier commun, ce diviseur diviserait z + x et z - x, soit 2p² et 2q². Comme ce diviseur premier ne peut être 2 (x impair), il diviserait p² et q² et donc p et q, ce qui est impossible puisque p et q sont premiers entre eux.

CQFD

Faits intéressants

Dans un triplet pythagoricien primitif où a et b sont les cathètes et c est l'hypoténuse, a étant impair et b pair (voir lemme préliminaire)^[1] :

• c est toujours impair.
• c - b est un carré parfait.
• c + b est un carré parfait.
• (c + a) / 2 est un carré parfait.
• (c - a) / 2 est un carré parfait.
• Soit a ou soit b est un multiple de 3, alors b est un multiple de 4.
• Soit a soit b ou soit c est un multiple de 5, alors le produit ab est un multiple de 12.
• Soit a ou soit b, alors a + b ou b - a est un multiple de 7.

Par exemple, dans le triplet pythagoricien (65, 72, 97), où a = 65, b = 72 et c = 97 :

• 97 est impair,
• 97 - 72 = 25, qui est un carré parfait (5 x 5),
• 97 + 72 = 169, qui est aussi un carré parfait (13 x 13),
• (97 + 65) / 2 = 81, qui est un carré parfait (9 x 9),
• (97 - 65) / 2 = 16, qui est aussi un carré parfait (4 x 4),
• 72 est un multiple de 3,
• 72 est un multiple de 4,
• 65 est un multiple de 5,
• 65 * 72 = 4680 est un multiple de 12,
• 72 - 65 = 7 , qui est un multiple de 7.

Notes et références

1. ↑ Robert Stanton, par , Kaplan

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Pythagore
• Théorème de Fermat
• Démonstrations du dernier théorème de Fermat
• La tablette Plimpton 322 est un très ancien document écrit (-1800) faisant apparaître ces nombres.